Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63691 / 75463
↖ ↑ ↗
← S 26.290953°
W  5.067444°		 ← 273.83 m → S 26.290953°
W  5.064697°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
S 26.293415°
W  5.067444°		 ← 273.83 m →
74 964 m²		 S 26.293415°
W  5.064697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485927581787109 y=0.575740814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485927581787109 × 217)
    floor (0.485927581787109 × 131072)
    floor (63691.5)     		tx = 63691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575740814208984 × 217)
    floor (0.575740814208984 × 131072)
    floor (75463.5)     		ty = 75463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63691 / 75463 ti = "17/63691/75463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63691/75463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63691 ÷ 217
    63691 ÷ 131072     		x = 0.485923767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75463 ÷ 217
    75463 ÷ 131072     		y = 0.575736999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485923767089844 × 2 - 1) × π
    -0.0281524658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08844358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575736999511719 × 2 - 1) × π
    -0.151473999023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.475869602528297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08844358} λ = -0.08844358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475869602528297))-π/2
    2×atan(0.621344498716864)-π/2
    2×0.555966320533227-π/2
    1.11193264106645-1.57079632675     		φ = -0.45886369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08844358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.067444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45886369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.290953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63691 KachelY 75463 -0.08844358 -0.45886369 -5.067444 -26.290953
    Oben rechts KachelX + 1 63692 KachelY 75463 -0.08839564 -0.45886369 -5.064697 -26.290953
    Unten links KachelX 63691 KachelY + 1 75464 -0.08844358 -0.45890666 -5.067444 -26.293415
    Unten rechts KachelX + 1 63692 KachelY + 1 75464 -0.08839564 -0.45890666 -5.064697 -26.293415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45886369--0.45890666) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dl = 273.761870000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45886369--0.45890666) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dr = 273.761870000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08844358--0.08839564) × cos(-0.45886369) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896556381598774 × 6371000     		do = 273.831396301507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08844358--0.08839564) × cos(-0.45890666) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896537348084991 × 6371000     		du = 273.825582976475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45886369)-sin(-0.45890666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896556381598774-0.896537348084991)×R²
    abs(-0.08839564--0.08844358)×1.90335137834063e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90335137834063e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90335137834063e-05×40589641000000     		ar = 74963.7993944654m²