Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6369 / 6113
↖ ↑ ↗
← S 65.964377°
E 99.887696°		 ← 1 990.29 m → S 65.964377°
E 99.931641°		 →
↑
1 989.60 m
↓
↑
1 989.60 m
↓
S 65.982270°
E 99.887696°		 ← 1 988.90 m →
3 958 496 m²		 S 65.982270°
E 99.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77752685546875 y=0.74627685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77752685546875 × 213)
    floor (0.77752685546875 × 8192)
    floor (6369.5)     		tx = 6369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74627685546875 × 213)
    floor (0.74627685546875 × 8192)
    floor (6113.5)     		ty = 6113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6369 / 6113 ti = "13/6369/6113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6369/6113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6369 ÷ 213
    6369 ÷ 8192     		x = 0.7774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6113 ÷ 213
    6113 ÷ 8192     		y = 0.7462158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7774658203125 × 2 - 1) × π
    0.554931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74336917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.492431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54701962453845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74336917} λ = 1.74336917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54701962453845))-π/2
    2×atan(0.21288149607784)-π/2
    2×0.20975037806679-π/2
    0.41950075613358-1.57079632675     		φ = -1.15129557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74336917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.887696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15129557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.964377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6369 KachelY 6113 1.74336917 -1.15129557 99.887696 -65.964377
    Oben rechts KachelX + 1 6370 KachelY 6113 1.74413616 -1.15129557 99.931641 -65.964377
    Unten links KachelX 6369 KachelY + 1 6114 1.74336917 -1.15160786 99.887696 -65.982270
    Unten rechts KachelX + 1 6370 KachelY + 1 6114 1.74413616 -1.15160786 99.931641 -65.982270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15129557--1.15160786) × R
    0.000312289999999882 × 6371000     		dl = 1989.59958999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15129557--1.15160786) × R
    0.000312289999999882 × 6371000     		dr = 1989.59958999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74336917-1.74413616) × cos(-1.15129557) × R
    0.000766990000000023 × 0.407304548813524 × 6371000     		do = 1990.29094476382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74336917-1.74413616) × cos(-1.15160786) × R
    0.000766990000000023 × 0.407019316873945 × 6371000     		du = 1988.89716080498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15129557)-sin(-1.15160786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407304548813524-0.407019316873945)×R²
    abs(1.74413616-1.74336917)×0.00028523193957869×R²
    0.000766990000000023×0.00028523193957869×6371000²
    0.000766990000000023×0.00028523193957869×40589641000000     		ar = 3958495.54385654m²