Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63687 / 75253
↖ ↑ ↗
← S 25.772687°
W  5.078430°		 ← 275.04 m → S 25.772687°
W  5.075684°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
S 25.775161°
W  5.078430°		 ← 275.04 m →
75 646 m²		 S 25.775161°
W  5.075684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485897064208984 y=0.574138641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485897064208984 × 217)
    floor (0.485897064208984 × 131072)
    floor (63687.5)     		tx = 63687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574138641357422 × 217)
    floor (0.574138641357422 × 131072)
    floor (75253.5)     		ty = 75253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63687 / 75253 ti = "17/63687/75253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63687/75253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63687 ÷ 217
    63687 ÷ 131072     		x = 0.485893249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75253 ÷ 217
    75253 ÷ 131072     		y = 0.574134826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485893249511719 × 2 - 1) × π
    -0.0282135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08863533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574134826660156 × 2 - 1) × π
    -0.148269653320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.465802853608086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08863533} λ = -0.08863533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465802853608086))-π/2
    2×atan(0.627631007039661)-π/2
    2×0.560489038659155-π/2
    1.12097807731831-1.57079632675     		φ = -0.44981825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08863533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.078430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44981825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.772687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63687 KachelY 75253 -0.08863533 -0.44981825 -5.078430 -25.772687
    Oben rechts KachelX + 1 63688 KachelY 75253 -0.08858739 -0.44981825 -5.075684 -25.772687
    Unten links KachelX 63687 KachelY + 1 75254 -0.08863533 -0.44986142 -5.078430 -25.775161
    Unten rechts KachelX + 1 63688 KachelY + 1 75254 -0.08858739 -0.44986142 -5.075684 -25.775161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44981825--0.44986142) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dl = 275.036070000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44981825--0.44986142) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dr = 275.036070000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08863533--0.08858739) × cos(-0.44981825) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900526142465804 × 6371000     		do = 275.043863451942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08863533--0.08858739) × cos(-0.44986142) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900507371229921 × 6371000     		du = 275.038130233332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44981825)-sin(-0.44986142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900526142465804-0.900507371229921)×R²
    abs(-0.08858739--0.08863533)×1.87712358832304e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87712358832304e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87712358832304e-05×40589641000000     		ar = 75646.1948722862m²