Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63686 / 75481
↖ ↑ ↗
← S 26.335268°
W  5.081177°		 ← 273.67 m → S 26.335268°
W  5.078430°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
S 26.337730°
W  5.081177°		 ← 273.66 m →
74 919 m²		 S 26.337730°
W  5.078430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485889434814453 y=0.575878143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485889434814453 × 217)
    floor (0.485889434814453 × 131072)
    floor (63686.5)     		tx = 63686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575878143310547 × 217)
    floor (0.575878143310547 × 131072)
    floor (75481.5)     		ty = 75481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63686 / 75481 ti = "17/63686/75481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63686/75481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63686 ÷ 217
    63686 ÷ 131072     		x = 0.485885620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75481 ÷ 217
    75481 ÷ 131072     		y = 0.575874328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485885620117188 × 2 - 1) × π
    -0.028228759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08868326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575874328613281 × 2 - 1) × π
    -0.151748657226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.476732466721458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08868326} λ = -0.08868326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476732466721458))-π/2
    2×atan(0.620808594037034)-π/2
    2×0.555579591277935-π/2
    1.11115918255587-1.57079632675     		φ = -0.45963714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08868326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.081177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45963714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.335268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63686 KachelY 75481 -0.08868326 -0.45963714 -5.081177 -26.335268
    Oben rechts KachelX + 1 63687 KachelY 75481 -0.08863533 -0.45963714 -5.078430 -26.335268
    Unten links KachelX 63686 KachelY + 1 75482 -0.08868326 -0.45968011 -5.081177 -26.337730
    Unten rechts KachelX + 1 63687 KachelY + 1 75482 -0.08863533 -0.45968011 -5.078430 -26.337730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45963714--0.45968011) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45963714--0.45968011) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08868326--0.08863533) × cos(-0.45963714) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.896213529541642 × 6371000     		do = 273.66958269431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08868326--0.08863533) × cos(-0.45968011) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.896194466236689 × 6371000     		du = 273.663761484811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45963714)-sin(-0.45968011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896213529541642-0.896194466236689)×R²
    abs(-0.08863533--0.08868326)×1.90633049536038e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.90633049536038e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.90633049536038e-05×40589641000000     		ar = 74919.4999194658m²