Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63682 / 75790
↖ ↑ ↗
← S 27.093364°
W  5.092163°		 ← 271.91 m → S 27.093364°
W  5.089416°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
S 27.095809°
W  5.092163°		 ← 271.90 m →
73 935 m²		 S 27.095809°
W  5.089416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485858917236328 y=0.578235626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485858917236328 × 217)
    floor (0.485858917236328 × 131072)
    floor (63682.5)     		tx = 63682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578235626220703 × 217)
    floor (0.578235626220703 × 131072)
    floor (75790.5)     		ty = 75790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63682 / 75790 ti = "17/63682/75790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63682/75790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63682 ÷ 217
    63682 ÷ 131072     		x = 0.485855102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75790 ÷ 217
    75790 ÷ 131072     		y = 0.578231811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485855102539062 × 2 - 1) × π
    -0.028289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08887501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578231811523438 × 2 - 1) × π
    -0.156463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.491544968704056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08887501} λ = -0.08887501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.491544968704056))-π/2
    2×atan(0.611680636349372)-π/2
    2×0.548963962941087-π/2
    1.09792792588217-1.57079632675     		φ = -0.47286840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08887501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.092163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47286840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.093364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63682 KachelY 75790 -0.08887501 -0.47286840 -5.092163 -27.093364
    Oben rechts KachelX + 1 63683 KachelY 75790 -0.08882707 -0.47286840 -5.089416 -27.093364
    Unten links KachelX 63682 KachelY + 1 75791 -0.08887501 -0.47291108 -5.092163 -27.095809
    Unten rechts KachelX + 1 63683 KachelY + 1 75791 -0.08882707 -0.47291108 -5.089416 -27.095809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47286840--0.47291108) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dl = 271.914279999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47286840--0.47291108) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dr = 271.914279999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08887501--0.08882707) × cos(-0.47286840) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.890265563171768 × 6371000     		do = 271.910018428312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08887501--0.08882707) × cos(-0.47291108) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.890246124105192 × 6371000     		du = 271.904081237018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47286840)-sin(-0.47291108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890265563171768-0.890246124105192)×R²
    abs(-0.08882707--0.08887501)×1.94390665756439e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.94390665756439e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.94390665756439e-05×40589641000000     		ar = 73935.4096933661m²