Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63681 / 75201
↖ ↑ ↗
← S 25.644003°
W  5.094910°		 ← 275.34 m → S 25.644003°
W  5.092163°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
S 25.646478°
W  5.094910°		 ← 275.34 m →
75 798 m²		 S 25.646478°
W  5.092163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485851287841797 y=0.573741912841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485851287841797 × 217)
    floor (0.485851287841797 × 131072)
    floor (63681.5)     		tx = 63681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573741912841797 × 217)
    floor (0.573741912841797 × 131072)
    floor (75201.5)     		ty = 75201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63681 / 75201 ti = "17/63681/75201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63681/75201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63681 ÷ 217
    63681 ÷ 131072     		x = 0.485847473144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75201 ÷ 217
    75201 ÷ 131072     		y = 0.573738098144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485847473144531 × 2 - 1) × π
    -0.0283050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08892295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573738098144531 × 2 - 1) × π
    -0.147476196289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.463310134827843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08892295} λ = -0.08892295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.463310134827843))-π/2
    2×atan(0.629197466197934)-π/2
    2×0.56161202538814-π/2
    1.12322405077628-1.57079632675     		φ = -0.44757228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08892295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.094910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44757228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.644003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63681 KachelY 75201 -0.08892295 -0.44757228 -5.094910 -25.644003
    Oben rechts KachelX + 1 63682 KachelY 75201 -0.08887501 -0.44757228 -5.092163 -25.644003
    Unten links KachelX 63681 KachelY + 1 75202 -0.08892295 -0.44761549 -5.094910 -25.646478
    Unten rechts KachelX + 1 63682 KachelY + 1 75202 -0.08887501 -0.44761549 -5.092163 -25.646478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44757228--0.44761549) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dl = 275.2909100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44757228--0.44761549) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dr = 275.2909100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08892295--0.08887501) × cos(-0.44757228) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901500422304614 × 6371000     		do = 275.341433592678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08892295--0.08887501) × cos(-0.44761549) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901481721116092 × 6371000     		du = 275.335721768335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44757228)-sin(-0.44761549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901500422304614-0.901481721116092)×R²
    abs(-0.08887501--0.08892295)×1.87011885218746e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87011885218746e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87011885218746e-05×40589641000000     		ar = 75798.2076195792m²