Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63678 / 75766
↖ ↑ ↗
← S 27.034663°
W  5.103149°		 ← 272.05 m → S 27.034663°
W  5.100403°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
S 27.037110°
W  5.103149°		 ← 272.05 m →
74 009 m²		 S 27.037110°
W  5.100403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485828399658203 y=0.578052520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485828399658203 × 217)
    floor (0.485828399658203 × 131072)
    floor (63678.5)     		tx = 63678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578052520751953 × 217)
    floor (0.578052520751953 × 131072)
    floor (75766.5)     		ty = 75766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63678 / 75766 ti = "17/63678/75766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63678/75766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63678 ÷ 217
    63678 ÷ 131072     		x = 0.485824584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75766 ÷ 217
    75766 ÷ 131072     		y = 0.578048706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485824584960938 × 2 - 1) × π
    -0.028350830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08906676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578048706054688 × 2 - 1) × π
    -0.156097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.490394483113174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08906676} λ = -0.08906676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490394483113174))-π/2
    2×atan(0.612384771078476)-π/2
    2×0.549476215895747-π/2
    1.09895243179149-1.57079632675     		φ = -0.47184389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08906676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.103149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47184389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.034663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63678 KachelY 75766 -0.08906676 -0.47184389 -5.103149 -27.034663
    Oben rechts KachelX + 1 63679 KachelY 75766 -0.08901882 -0.47184389 -5.100403 -27.034663
    Unten links KachelX 63678 KachelY + 1 75767 -0.08906676 -0.47188659 -5.103149 -27.037110
    Unten rechts KachelX + 1 63679 KachelY + 1 75767 -0.08901882 -0.47188659 -5.100403 -27.037110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47184389--0.47188659) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47184389--0.47188659) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08906676--0.08901882) × cos(-0.47184389) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890731700541176 × 6371000     		do = 272.052388779226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08906676--0.08901882) × cos(-0.47188659) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.890712291320849 × 6371000     		du = 272.046460703745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47184389)-sin(-0.47188659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890731700541176-0.890712291320849)×R²
    abs(-0.08901882--0.08906676)×1.9409220326283e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9409220326283e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9409220326283e-05×40589641000000     		ar = 74008.7880020023m²