Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63678 / 75199
↖ ↑ ↗
← S 25.639050°
W  5.103149°		 ← 275.35 m → S 25.639050°
W  5.100403°		 →
↑
275.35 m
↓
↑
275.35 m
↓
S 25.641526°
W  5.103149°		 ← 275.35 m →
75 819 m²		 S 25.641526°
W  5.100403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485828399658203 y=0.573726654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485828399658203 × 217)
    floor (0.485828399658203 × 131072)
    floor (63678.5)     		tx = 63678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573726654052734 × 217)
    floor (0.573726654052734 × 131072)
    floor (75199.5)     		ty = 75199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63678 / 75199 ti = "17/63678/75199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63678/75199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63678 ÷ 217
    63678 ÷ 131072     		x = 0.485824584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75199 ÷ 217
    75199 ÷ 131072     		y = 0.573722839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485824584960938 × 2 - 1) × π
    -0.028350830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08906676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573722839355469 × 2 - 1) × π
    -0.147445678710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.463214261028603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08906676} λ = -0.08906676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.463214261028603))-π/2
    2×atan(0.629257792641307)-π/2
    2×0.561655241419976-π/2
    1.12331048283995-1.57079632675     		φ = -0.44748584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08906676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.103149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44748584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.639050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63678 KachelY 75199 -0.08906676 -0.44748584 -5.103149 -25.639050
    Oben rechts KachelX + 1 63679 KachelY 75199 -0.08901882 -0.44748584 -5.100403 -25.639050
    Unten links KachelX 63678 KachelY + 1 75200 -0.08906676 -0.44752906 -5.103149 -25.641526
    Unten rechts KachelX + 1 63679 KachelY + 1 75200 -0.08901882 -0.44752906 -5.100403 -25.641526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44748584--0.44752906) × R
    4.3219999999955e-05 × 6371000     		dl = 275.354619999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44748584--0.44752906) × R
    4.3219999999955e-05 × 6371000     		dr = 275.354619999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08906676--0.08901882) × cos(-0.44748584) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901537828286044 × 6371000     		do = 275.352858342237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08906676--0.08901882) × cos(-0.44752906) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901519126137334 × 6371000     		du = 275.347146224627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44748584)-sin(-0.44752906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901537828286044-0.901519126137334)×R²
    abs(-0.08901882--0.08906676)×1.87021487099148e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87021487099148e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87021487099148e-05×40589641000000     		ar = 75818.8952574976m²