Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63675 / 75706
↖ ↑ ↗
← S 26.887780°
W  5.111389°		 ← 272.41 m → S 26.887780°
W  5.108642°		 →
↑
272.36 m
↓
↑
272.36 m
↓
S 26.890229°
W  5.111389°		 ← 272.40 m →
74 192 m²		 S 26.890229°
W  5.108642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485805511474609 y=0.577594757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485805511474609 × 217)
    floor (0.485805511474609 × 131072)
    floor (63675.5)     		tx = 63675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577594757080078 × 217)
    floor (0.577594757080078 × 131072)
    floor (75706.5)     		ty = 75706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63675 / 75706 ti = "17/63675/75706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63675/75706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63675 ÷ 217
    63675 ÷ 131072     		x = 0.485801696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75706 ÷ 217
    75706 ÷ 131072     		y = 0.577590942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485801696777344 × 2 - 1) × π
    -0.0283966064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08921057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577590942382812 × 2 - 1) × π
    -0.155181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.487518269135971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08921057} λ = -0.08921057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.487518269135971))-π/2
    2×atan(0.614148656155942)-π/2
    2×0.550758019657212-π/2
    1.10151603931442-1.57079632675     		φ = -0.46928029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08921057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.111389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46928029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.887780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63675 KachelY 75706 -0.08921057 -0.46928029 -5.111389 -26.887780
    Oben rechts KachelX + 1 63676 KachelY 75706 -0.08916263 -0.46928029 -5.108642 -26.887780
    Unten links KachelX 63675 KachelY + 1 75707 -0.08921057 -0.46932304 -5.111389 -26.890229
    Unten rechts KachelX + 1 63676 KachelY + 1 75707 -0.08916263 -0.46932304 -5.108642 -26.890229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46928029--0.46932304) × R
    4.27500000000358e-05 × 6371000     		dl = 272.360250000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46928029--0.46932304) × R
    4.27500000000358e-05 × 6371000     		dr = 272.360250000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08921057--0.08916263) × cos(-0.46928029) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.891894004047272 × 6371000     		do = 272.40738618768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08921057--0.08916263) × cos(-0.46932304) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.891874669780012 × 6371000     		du = 272.401481004795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46928029)-sin(-0.46932304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891894004047272-0.891874669780012)×R²
    abs(-0.08916263--0.08921057)×1.93342672594188e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93342672594188e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93342672594188e-05×40589641000000     		ar = 74192.1396467973m²