Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63671 / 75240
↖ ↑ ↗
← S 25.740529°
W  5.122376°		 ← 275.12 m → S 25.740529°
W  5.119629°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
S 25.743003°
W  5.122376°		 ← 275.11 m →
75 684 m²		 S 25.743003°
W  5.119629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485774993896484 y=0.574039459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485774993896484 × 217)
    floor (0.485774993896484 × 131072)
    floor (63671.5)     		tx = 63671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574039459228516 × 217)
    floor (0.574039459228516 × 131072)
    floor (75240.5)     		ty = 75240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63671 / 75240 ti = "17/63671/75240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63671/75240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63671 ÷ 217
    63671 ÷ 131072     		x = 0.485771179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75240 ÷ 217
    75240 ÷ 131072     		y = 0.57403564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485771179199219 × 2 - 1) × π
    -0.0284576416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08940232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57403564453125 × 2 - 1) × π
    -0.1480712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.465179673913025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08940232} λ = -0.08940232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465179673913025))-π/2
    2×atan(0.628022255835729)-π/2
    2×0.560769671466296-π/2
    1.12153934293259-1.57079632675     		φ = -0.44925698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08940232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.122376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44925698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.740529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63671 KachelY 75240 -0.08940232 -0.44925698 -5.122376 -25.740529
    Oben rechts KachelX + 1 63672 KachelY 75240 -0.08935438 -0.44925698 -5.119629 -25.740529
    Unten links KachelX 63671 KachelY + 1 75241 -0.08940232 -0.44930016 -5.122376 -25.743003
    Unten rechts KachelX + 1 63672 KachelY + 1 75241 -0.08935438 -0.44930016 -5.119629 -25.743003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44925698--0.44930016) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dl = 275.099780000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44925698--0.44930016) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dr = 275.099780000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08940232--0.08935438) × cos(-0.44925698) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900770041855264 × 6371000     		do = 275.118356603454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08940232--0.08935438) × cos(-0.44930016) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.900751288098528 × 6371000     		du = 275.112628723425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44925698)-sin(-0.44930016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900770041855264-0.900751288098528)×R²
    abs(-0.08935438--0.08940232)×1.87537567357676e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87537567357676e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87537567357676e-05×40589641000000     		ar = 75684.2115181239m²