Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63661 / 75474
↖ ↑ ↗
← S 26.318037°
W  5.149841°		 ← 273.77 m → S 26.318037°
W  5.147095°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
S 26.320499°
W  5.149841°		 ← 273.76 m →
74 946 m²		 S 26.320499°
W  5.147095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485698699951172 y=0.575824737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485698699951172 × 217)
    floor (0.485698699951172 × 131072)
    floor (63661.5)     		tx = 63661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575824737548828 × 217)
    floor (0.575824737548828 × 131072)
    floor (75474.5)     		ty = 75474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63661 / 75474 ti = "17/63661/75474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63661/75474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63661 ÷ 217
    63661 ÷ 131072     		x = 0.485694885253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75474 ÷ 217
    75474 ÷ 131072     		y = 0.575820922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485694885253906 × 2 - 1) × π
    -0.0286102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08988169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575820922851562 × 2 - 1) × π
    -0.151641845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.476396908424118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08988169} λ = -0.08988169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476396908424118))-π/2
    2×atan(0.621016946467061)-π/2
    2×0.55572996841076-π/2
    1.11145993682152-1.57079632675     		φ = -0.45933639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08988169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.149841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45933639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.318037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63661 KachelY 75474 -0.08988169 -0.45933639 -5.149841 -26.318037
    Oben rechts KachelX + 1 63662 KachelY 75474 -0.08983375 -0.45933639 -5.147095 -26.318037
    Unten links KachelX 63661 KachelY + 1 75475 -0.08988169 -0.45937936 -5.149841 -26.320499
    Unten rechts KachelX + 1 63662 KachelY + 1 75475 -0.08983375 -0.45937936 -5.147095 -26.320499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45933639--0.45937936) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dl = 273.761870000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45933639--0.45937936) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dr = 273.761870000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08988169--0.08983375) × cos(-0.45933639) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896346908606165 × 6371000     		do = 273.767417857729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08988169--0.08983375) × cos(-0.45937936) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896327856883922 × 6371000     		du = 273.761598971365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45933639)-sin(-0.45937936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896346908606165-0.896327856883922)×R²
    abs(-0.08983375--0.08988169)×1.90517222434794e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90517222434794e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90517222434794e-05×40589641000000     		ar = 74946.2837748192m²