Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63660 / 75473
↖ ↑ ↗
← S 26.315575°
W  5.152588°		 ← 273.72 m → S 26.315575°
W  5.149841°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
S 26.318037°
W  5.152588°		 ← 273.71 m →
74 932 m²		 S 26.318037°
W  5.149841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485691070556641 y=0.575817108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485691070556641 × 217)
    floor (0.485691070556641 × 131072)
    floor (63660.5)     		tx = 63660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575817108154297 × 217)
    floor (0.575817108154297 × 131072)
    floor (75473.5)     		ty = 75473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63660 / 75473 ti = "17/63660/75473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63660/75473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63660 ÷ 217
    63660 ÷ 131072     		x = 0.485687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75473 ÷ 217
    75473 ÷ 131072     		y = 0.575813293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485687255859375 × 2 - 1) × π
    -0.02862548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08992962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575813293457031 × 2 - 1) × π
    -0.151626586914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.476348971524498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08992962} λ = -0.08992962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476348971524498))-π/2
    2×atan(0.62104671680763)-π/2
    2×0.555751452684947-π/2
    1.11150290536989-1.57079632675     		φ = -0.45929342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08992962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.152588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45929342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.315575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63660 KachelY 75473 -0.08992962 -0.45929342 -5.152588 -26.315575
    Oben rechts KachelX + 1 63661 KachelY 75473 -0.08988169 -0.45929342 -5.149841 -26.315575
    Unten links KachelX 63660 KachelY + 1 75474 -0.08992962 -0.45933639 -5.152588 -26.318037
    Unten rechts KachelX + 1 63661 KachelY + 1 75474 -0.08988169 -0.45933639 -5.149841 -26.318037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45929342--0.45933639) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45929342--0.45933639) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08992962--0.08988169) × cos(-0.45929342) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.896365958673375 × 6371000     		do = 273.716128763407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08992962--0.08988169) × cos(-0.45933639) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.896346908606165 × 6371000     		du = 273.710311596212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45929342)-sin(-0.45933639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896365958673375-0.896346908606165)×R²
    abs(-0.08988169--0.08992962)×1.90500672098137e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.90500672098137e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.90500672098137e-05×40589641000000     		ar = 74932.2430115609m²