Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6366 / 6187
↖ ↑ ↗
← S 67.255058°
E 99.755859°		 ← 1 889.26 m → S 67.255058°
E 99.799804°		 →
↑
1 888.62 m
↓
↑
1 888.62 m
↓
S 67.272043°
E 99.755859°		 ← 1 887.93 m →
3 566 836 m²		 S 67.272043°
E 99.799804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77716064453125 y=0.75531005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77716064453125 × 213)
    floor (0.77716064453125 × 8192)
    floor (6366.5)     		tx = 6366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75531005859375 × 213)
    floor (0.75531005859375 × 8192)
    floor (6187.5)     		ty = 6187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6366 / 6187 ti = "13/6366/6187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6366/6187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6366 ÷ 213
    6366 ÷ 8192     		x = 0.777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6187 ÷ 213
    6187 ÷ 8192     		y = 0.7552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777099609375 × 2 - 1) × π
    0.55419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74106819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6037769136886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74106819} λ = 1.74106819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6037769136886))-π/2
    2×atan(0.201135410495598)-π/2
    2×0.198487061949986-π/2
    0.396974123899972-1.57079632675     		φ = -1.17382220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74106819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.755859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17382220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.255058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6366 KachelY 6187 1.74106819 -1.17382220 99.755859 -67.255058
    Oben rechts KachelX + 1 6367 KachelY 6187 1.74183518 -1.17382220 99.799804 -67.255058
    Unten links KachelX 6366 KachelY + 1 6188 1.74106819 -1.17411864 99.755859 -67.272043
    Unten rechts KachelX + 1 6367 KachelY + 1 6188 1.74183518 -1.17411864 99.799804 -67.272043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17382220--1.17411864) × R
    0.000296440000000064 × 6371000     		dl = 1888.61924000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17382220--1.17411864) × R
    0.000296440000000064 × 6371000     		dr = 1888.61924000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74106819-1.74183518) × cos(-1.17382220) × R
    0.000766990000000023 × 0.386629550041545 × 6371000     		do = 1889.26270199379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74106819-1.74183518) × cos(-1.17411864) × R
    0.000766990000000023 × 0.38635614568282 × 6371000     		du = 1887.92671342942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17382220)-sin(-1.17411864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386629550041545-0.38635614568282)×R²
    abs(1.74183518-1.74106819)×0.000273404358725415×R²
    0.000766990000000023×0.000273404358725415×6371000²
    0.000766990000000023×0.000273404358725415×40589641000000     		ar = 3566836.32766467m²