Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6366 / 6013
↖ ↑ ↗
← S 64.110602°
E 99.755859°		 ← 2 133.62 m → S 64.110602°
E 99.799804°		 →
↑
2 132.88 m
↓
↑
2 132.88 m
↓
S 64.129783°
E 99.755859°		 ← 2 132.14 m →
4 549 184 m²		 S 64.129783°
E 99.799804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77716064453125 y=0.73406982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77716064453125 × 213)
    floor (0.77716064453125 × 8192)
    floor (6366.5)     		tx = 6366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73406982421875 × 213)
    floor (0.73406982421875 × 8192)
    floor (6013.5)     		ty = 6013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6366 / 6013 ti = "13/6366/6013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6366/6013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6366 ÷ 213
    6366 ÷ 8192     		x = 0.777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6013 ÷ 213
    6013 ÷ 8192     		y = 0.7340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777099609375 × 2 - 1) × π
    0.55419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74106819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47032058514636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74106819} λ = 1.74106819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47032058514636))-π/2
    2×atan(0.229851786305417)-π/2
    2×0.225927616322889-π/2
    0.451855232645779-1.57079632675     		φ = -1.11894109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74106819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.755859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11894109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.110602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6366 KachelY 6013 1.74106819 -1.11894109 99.755859 -64.110602
    Oben rechts KachelX + 1 6367 KachelY 6013 1.74183518 -1.11894109 99.799804 -64.110602
    Unten links KachelX 6366 KachelY + 1 6014 1.74106819 -1.11927587 99.755859 -64.129783
    Unten rechts KachelX + 1 6367 KachelY + 1 6014 1.74183518 -1.11927587 99.799804 -64.129783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11894109--1.11927587) × R
    0.000334779999999979 × 6371000     		dl = 2132.88337999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11894109--1.11927587) × R
    0.000334779999999979 × 6371000     		dr = 2132.88337999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74106819-1.74183518) × cos(-1.11894109) × R
    0.000766990000000023 × 0.436635327194569 × 6371000     		do = 2133.61559651328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74106819-1.74183518) × cos(-1.11927587) × R
    0.000766990000000023 × 0.436334121724797 × 6371000     		du = 2132.14375800633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11894109)-sin(-1.11927587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436635327194569-0.436334121724797)×R²
    abs(1.74183518-1.74106819)×0.00030120546977197×R²
    0.000766990000000023×0.00030120546977197×6371000²
    0.000766990000000023×0.00030120546977197×40589641000000     		ar = 4549183.65765543m²