Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63659 / 75704
↖ ↑ ↗
← S 26.882881°
W  5.155334°		 ← 272.42 m → S 26.882881°
W  5.152588°		 →
↑
272.36 m
↓
↑
272.36 m
↓
S 26.885330°
W  5.155334°		 ← 272.41 m →
74 195 m²		 S 26.885330°
W  5.152588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485683441162109 y=0.577579498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485683441162109 × 217)
    floor (0.485683441162109 × 131072)
    floor (63659.5)     		tx = 63659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577579498291016 × 217)
    floor (0.577579498291016 × 131072)
    floor (75704.5)     		ty = 75704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63659 / 75704 ti = "17/63659/75704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63659/75704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63659 ÷ 217
    63659 ÷ 131072     		x = 0.485679626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75704 ÷ 217
    75704 ÷ 131072     		y = 0.57757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485679626464844 × 2 - 1) × π
    -0.0286407470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08997756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.1551513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.487422395336731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08997756} λ = -0.08997756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.487422395336731))-π/2
    2×atan(0.614207539743557)-π/2
    2×0.550800775217458-π/2
    1.10160155043492-1.57079632675     		φ = -0.46919478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08997756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.155334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46919478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.882881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63659 KachelY 75704 -0.08997756 -0.46919478 -5.155334 -26.882881
    Oben rechts KachelX + 1 63660 KachelY 75704 -0.08992962 -0.46919478 -5.152588 -26.882881
    Unten links KachelX 63659 KachelY + 1 75705 -0.08997756 -0.46923753 -5.155334 -26.885330
    Unten rechts KachelX + 1 63660 KachelY + 1 75705 -0.08992962 -0.46923753 -5.152588 -26.885330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46919478--0.46923753) × R
    4.27500000000358e-05 × 6371000     		dl = 272.360250000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46919478--0.46923753) × R
    4.27500000000358e-05 × 6371000     		dr = 272.360250000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08997756--0.08992962) × cos(-0.46919478) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.891932672213462 × 6371000     		do = 272.419196440953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08997756--0.08992962) × cos(-0.46923753) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.891913341206603 × 6371000     		du = 272.413292253878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46919478)-sin(-0.46923753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891932672213462-0.891913341206603)×R²
    abs(-0.08992962--0.08997756)×1.93310068588026e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93310068588026e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93310068588026e-05×40589641000000     		ar = 74195.3564258345m²