Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63655 / 75690
↖ ↑ ↗
← S 26.848578°
W  5.166321°		 ← 272.50 m → S 26.848578°
W  5.163574°		 →
↑
272.49 m
↓
↑
272.49 m
↓
S 26.851029°
W  5.166321°		 ← 272.50 m →
74 253 m²		 S 26.851029°
W  5.163574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485652923583984 y=0.577472686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485652923583984 × 217)
    floor (0.485652923583984 × 131072)
    floor (63655.5)     		tx = 63655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577472686767578 × 217)
    floor (0.577472686767578 × 131072)
    floor (75690.5)     		ty = 75690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63655 / 75690 ti = "17/63655/75690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63655/75690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63655 ÷ 217
    63655 ÷ 131072     		x = 0.485649108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75690 ÷ 217
    75690 ÷ 131072     		y = 0.577468872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485649108886719 × 2 - 1) × π
    -0.0287017822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09016931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577468872070312 × 2 - 1) × π
    -0.154937744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.48675127874205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09016931} λ = -0.09016931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.48675127874205))-π/2
    2×atan(0.61461988296577)-π/2
    2×0.551100116025288-π/2
    1.10220023205058-1.57079632675     		φ = -0.46859609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09016931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.166321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46859609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.848578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63655 KachelY 75690 -0.09016931 -0.46859609 -5.166321 -26.848578
    Oben rechts KachelX + 1 63656 KachelY 75690 -0.09012137 -0.46859609 -5.163574 -26.848578
    Unten links KachelX 63655 KachelY + 1 75691 -0.09016931 -0.46863886 -5.166321 -26.851029
    Unten rechts KachelX + 1 63656 KachelY + 1 75691 -0.09012137 -0.46863886 -5.163574 -26.851029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46859609--0.46863886) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dl = 272.487669999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46859609--0.46863886) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dr = 272.487669999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09016931--0.09012137) × cos(-0.46859609) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.892203220947337 × 6371000     		do = 272.501828988203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09016931--0.09012137) × cos(-0.46863886) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.892183903738371 × 6371000     		du = 272.49592901536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46859609)-sin(-0.46863886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892203220947337-0.892183903738371)×R²
    abs(-0.09012137--0.09016931)×1.93172089666405e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93172089666405e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93172089666405e-05×40589641000000     		ar = 74252.584628026m²