Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63654 / 75694
↖ ↑ ↗
← S 26.858380°
W  5.169068°		 ← 272.48 m → S 26.858380°
W  5.166321°		 →
↑
272.42 m
↓
↑
272.42 m
↓
S 26.860830°
W  5.169068°		 ← 272.47 m →
74 229 m²		 S 26.860830°
W  5.166321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485645294189453 y=0.577503204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485645294189453 × 217)
    floor (0.485645294189453 × 131072)
    floor (63654.5)     		tx = 63654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577503204345703 × 217)
    floor (0.577503204345703 × 131072)
    floor (75694.5)     		ty = 75694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63654 / 75694 ti = "17/63654/75694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63654/75694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63654 ÷ 217
    63654 ÷ 131072     		x = 0.485641479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75694 ÷ 217
    75694 ÷ 131072     		y = 0.577499389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485641479492188 × 2 - 1) × π
    -0.028717041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09021725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577499389648438 × 2 - 1) × π
    -0.154998779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.48694302634053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09021725} λ = -0.09021725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.48694302634053))-π/2
    2×atan(0.614502042377419)-π/2
    2×0.551014580817142-π/2
    1.10202916163428-1.57079632675     		φ = -0.46876717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09021725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.169068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46876717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.858380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63654 KachelY 75694 -0.09021725 -0.46876717 -5.169068 -26.858380
    Oben rechts KachelX + 1 63655 KachelY 75694 -0.09016931 -0.46876717 -5.166321 -26.858380
    Unten links KachelX 63654 KachelY + 1 75695 -0.09021725 -0.46880993 -5.169068 -26.860830
    Unten rechts KachelX + 1 63655 KachelY + 1 75695 -0.09016931 -0.46880993 -5.166321 -26.860830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46876717--0.46880993) × R
    4.2759999999975e-05 × 6371000     		dl = 272.423959999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46876717--0.46880993) × R
    4.2759999999975e-05 × 6371000     		dr = 272.423959999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09021725--0.09016931) × cos(-0.46876717) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.892125942319325 × 6371000     		do = 272.478226106056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09021725--0.09016931) × cos(-0.46880993) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.892106623100628 × 6371000     		du = 272.47232551939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46876717)-sin(-0.46880993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892125942319325-0.892106623100628)×R²
    abs(-0.09016931--0.09021725)×1.93192186964675e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93192186964675e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93192186964675e-05×40589641000000     		ar = 74228.7936502317m²