Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63654 / 75691
↖ ↑ ↗
← S 26.851029°
W  5.169068°		 ← 272.50 m → S 26.851029°
W  5.166321°		 →
↑
272.49 m
↓
↑
272.49 m
↓
S 26.853479°
W  5.169068°		 ← 272.49 m →
74 251 m²		 S 26.853479°
W  5.166321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485645294189453 y=0.577480316162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485645294189453 × 217)
    floor (0.485645294189453 × 131072)
    floor (63654.5)     		tx = 63654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577480316162109 × 217)
    floor (0.577480316162109 × 131072)
    floor (75691.5)     		ty = 75691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63654 / 75691 ti = "17/63654/75691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63654/75691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63654 ÷ 217
    63654 ÷ 131072     		x = 0.485641479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75691 ÷ 217
    75691 ÷ 131072     		y = 0.577476501464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485641479492188 × 2 - 1) × π
    -0.028717041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09021725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577476501464844 × 2 - 1) × π
    -0.154953002929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.48679921564167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09021725} λ = -0.09021725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.48679921564167))-π/2
    2×atan(0.614590420700307)-π/2
    2×0.551078731528711-π/2
    1.10215746305742-1.57079632675     		φ = -0.46863886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09021725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.169068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46863886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.851029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63654 KachelY 75691 -0.09021725 -0.46863886 -5.169068 -26.851029
    Oben rechts KachelX + 1 63655 KachelY 75691 -0.09016931 -0.46863886 -5.166321 -26.851029
    Unten links KachelX 63654 KachelY + 1 75692 -0.09021725 -0.46868163 -5.169068 -26.853479
    Unten rechts KachelX + 1 63655 KachelY + 1 75692 -0.09016931 -0.46868163 -5.166321 -26.853479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46863886--0.46868163) × R
    4.27700000000253e-05 × 6371000     		dl = 272.487670000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46863886--0.46868163) × R
    4.27700000000253e-05 × 6371000     		dr = 272.487670000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09021725--0.09016931) × cos(-0.46863886) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.892183903738371 × 6371000     		do = 272.49592901536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09021725--0.09016931) × cos(-0.46868163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.892164584897356 × 6371000     		du = 272.490028544047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46863886)-sin(-0.46868163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892183903738371-0.892164584897356)×R²
    abs(-0.09016931--0.09021725)×1.93188410145817e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93188410145817e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93188410145817e-05×40589641000000     		ar = 74250.9768903921m²