Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63653 / 75695
↖ ↑ ↗
← S 26.860830°
W  5.171814°		 ← 272.42 m → S 26.860830°
W  5.169068°		 →
↑
272.42 m
↓
↑
272.42 m
↓
S 26.863280°
W  5.171814°		 ← 272.41 m →
74 212 m²		 S 26.863280°
W  5.169068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485637664794922 y=0.577510833740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485637664794922 × 217)
    floor (0.485637664794922 × 131072)
    floor (63653.5)     		tx = 63653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577510833740234 × 217)
    floor (0.577510833740234 × 131072)
    floor (75695.5)     		ty = 75695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63653 / 75695 ti = "17/63653/75695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63653/75695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63653 ÷ 217
    63653 ÷ 131072     		x = 0.485633850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75695 ÷ 217
    75695 ÷ 131072     		y = 0.577507019042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485633850097656 × 2 - 1) × π
    -0.0287322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09026518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577507019042969 × 2 - 1) × π
    -0.155014038085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.48699096324015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09026518} λ = -0.09026518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.48699096324015))-π/2
    2×atan(0.614472585760733)-π/2
    2×0.550993198172768-π/2
    1.10198639634554-1.57079632675     		φ = -0.46880993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09026518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.171814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46880993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.860830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63653 KachelY 75695 -0.09026518 -0.46880993 -5.171814 -26.860830
    Oben rechts KachelX + 1 63654 KachelY 75695 -0.09021725 -0.46880993 -5.169068 -26.860830
    Unten links KachelX 63653 KachelY + 1 75696 -0.09026518 -0.46885269 -5.171814 -26.863280
    Unten rechts KachelX + 1 63654 KachelY + 1 75696 -0.09021725 -0.46885269 -5.169068 -26.863280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46880993--0.46885269) × R
    4.27600000000306e-05 × 6371000     		dl = 272.423960000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46880993--0.46885269) × R
    4.27600000000306e-05 × 6371000     		dr = 272.423960000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09026518--0.09021725) × cos(-0.46880993) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.892106623100628 × 6371000     		do = 272.415489406462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09026518--0.09021725) × cos(-0.46885269) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.892087302250788 × 6371000     		du = 272.409589552533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46880993)-sin(-0.46885269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892106623100628-0.892087302250788)×R²
    abs(-0.09021725--0.09026518)×1.9320849840021e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.9320849840021e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.9320849840021e-05×40589641000000     		ar = 74211.7027699977m²