Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63652 / 75696
↖ ↑ ↗
← S 26.863280°
W  5.174561°		 ← 272.47 m → S 26.863280°
W  5.171814°		 →
↑
272.49 m
↓
↑
272.49 m
↓
S 26.865731°
W  5.174561°		 ← 272.46 m →
74 243 m²		 S 26.865731°
W  5.171814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485630035400391 y=0.577518463134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485630035400391 × 217)
    floor (0.485630035400391 × 131072)
    floor (63652.5)     		tx = 63652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577518463134766 × 217)
    floor (0.577518463134766 × 131072)
    floor (75696.5)     		ty = 75696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63652 / 75696 ti = "17/63652/75696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63652/75696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63652 ÷ 217
    63652 ÷ 131072     		x = 0.485626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75696 ÷ 217
    75696 ÷ 131072     		y = 0.5775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485626220703125 × 2 - 1) × π
    -0.02874755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09031312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.155029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.487038900139771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09031312} λ = -0.09031312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.487038900139771))-π/2
    2×atan(0.614443130556071)-π/2
    2×0.550971815991519-π/2
    1.10194363198304-1.57079632675     		φ = -0.46885269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09031312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.174561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46885269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.863280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63652 KachelY 75696 -0.09031312 -0.46885269 -5.174561 -26.863280
    Oben rechts KachelX + 1 63653 KachelY 75696 -0.09026518 -0.46885269 -5.171814 -26.863280
    Unten links KachelX 63652 KachelY + 1 75697 -0.09031312 -0.46889546 -5.174561 -26.865731
    Unten rechts KachelX + 1 63653 KachelY + 1 75697 -0.09026518 -0.46889546 -5.171814 -26.865731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46885269--0.46889546) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dl = 272.487669999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46885269--0.46889546) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dr = 272.487669999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09031312--0.09026518) × cos(-0.46885269) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.892087302250788 × 6371000     		do = 272.46642443453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09031312--0.09026518) × cos(-0.46889546) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.892067975250828 × 6371000     		du = 272.460521471265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46885269)-sin(-0.46889546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892087302250788-0.892067975250828)×R²
    abs(-0.09026518--0.09031312)×1.9326999960434e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9326999960434e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9326999960434e-05×40589641000000     		ar = 74242.9369163839m²