Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6365 / 6115
↖ ↑ ↗
← S 66.000150°
E 99.711914°		 ← 1 987.50 m → S 66.000150°
E 99.755859°		 →
↑
1 986.80 m
↓
↑
1 986.80 m
↓
S 66.018018°
E 99.711914°		 ← 1 986.11 m →
3 947 383 m²		 S 66.018018°
E 99.755859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77703857421875 y=0.74652099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77703857421875 × 213)
    floor (0.77703857421875 × 8192)
    floor (6365.5)     		tx = 6365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74652099609375 × 213)
    floor (0.74652099609375 × 8192)
    floor (6115.5)     		ty = 6115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6365 / 6115 ti = "13/6365/6115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6365/6115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6365 ÷ 213
    6365 ÷ 8192     		x = 0.7769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6115 ÷ 213
    6115 ÷ 8192     		y = 0.7464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7769775390625 × 2 - 1) × π
    0.553955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74030120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54855360532629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74030120} λ = 1.74030120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54855360532629))-π/2
    2×atan(0.21255519029016)-π/2
    2×0.2094381981401-π/2
    0.418876396280201-1.57079632675     		φ = -1.15191993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74030120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15191993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.000150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6365 KachelY 6115 1.74030120 -1.15191993 99.711914 -66.000150
    Oben rechts KachelX + 1 6366 KachelY 6115 1.74106819 -1.15191993 99.755859 -66.000150
    Unten links KachelX 6365 KachelY + 1 6116 1.74030120 -1.15223178 99.711914 -66.018018
    Unten rechts KachelX + 1 6366 KachelY + 1 6116 1.74106819 -1.15223178 99.755859 -66.018018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15191993--1.15223178) × R
    0.000311849999999891 × 6371000     		dl = 1986.79634999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15191993--1.15223178) × R
    0.000311849999999891 × 6371000     		dr = 1986.79634999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74030120-1.74106819) × cos(-1.15191993) × R
    0.000766990000000023 × 0.406734246220035 × 6371000     		do = 1987.50416496747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74030120-1.74106819) × cos(-1.15223178) × R
    0.000766990000000023 × 0.406449336963359 × 6371000     		du = 1986.11195779646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15191993)-sin(-1.15223178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406734246220035-0.406449336963359)×R²
    abs(1.74106819-1.74030120)×0.000284909256675847×R²
    0.000766990000000023×0.000284909256675847×6371000²
    0.000766990000000023×0.000284909256675847×40589641000000     		ar = 3947383.03649352m²