Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6365 / 6012
↖ ↑ ↗
← S 64.091407°
E 99.711914°		 ← 2 135.09 m → S 64.091407°
E 99.755859°		 →
↑
2 134.35 m
↓
↑
2 134.35 m
↓
S 64.110602°
E 99.711914°		 ← 2 133.62 m →
4 555 451 m²		 S 64.110602°
E 99.755859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77703857421875 y=0.73394775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77703857421875 × 213)
    floor (0.77703857421875 × 8192)
    floor (6365.5)     		tx = 6365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73394775390625 × 213)
    floor (0.73394775390625 × 8192)
    floor (6012.5)     		ty = 6012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6365 / 6012 ti = "13/6365/6012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6365/6012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6365 ÷ 213
    6365 ÷ 8192     		x = 0.7769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6012 ÷ 213
    6012 ÷ 8192     		y = 0.73388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7769775390625 × 2 - 1) × π
    0.553955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74030120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73388671875 × 2 - 1) × π
    -0.4677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46955359475244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74030120} λ = 1.74030120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46955359475244))-π/2
    2×atan(0.230028148042773)-π/2
    2×0.226095121653007-π/2
    0.452190243306014-1.57079632675     		φ = -1.11860608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74030120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11860608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.091407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6365 KachelY 6012 1.74030120 -1.11860608 99.711914 -64.091407
    Oben rechts KachelX + 1 6366 KachelY 6012 1.74106819 -1.11860608 99.755859 -64.091407
    Unten links KachelX 6365 KachelY + 1 6013 1.74030120 -1.11894109 99.711914 -64.110602
    Unten rechts KachelX + 1 6366 KachelY + 1 6013 1.74106819 -1.11894109 99.755859 -64.110602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11860608--1.11894109) × R
    0.000335010000000135 × 6371000     		dl = 2134.34871000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11860608--1.11894109) × R
    0.000335010000000135 × 6371000     		dr = 2134.34871000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74030120-1.74106819) × cos(-1.11860608) × R
    0.000766990000000023 × 0.436936690610512 × 6371000     		do = 2135.08820682314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74030120-1.74106819) × cos(-1.11894109) × R
    0.000766990000000023 × 0.436635327194569 × 6371000     		du = 2133.61559651328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11860608)-sin(-1.11894109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436936690610512-0.436635327194569)×R²
    abs(1.74106819-1.74030120)×0.000301363415943556×R²
    0.000766990000000023×0.000301363415943556×6371000²
    0.000766990000000023×0.000301363415943556×40589641000000     		ar = 4555451.2706212m²