Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6364 / 6556
↖ ↑ ↗
← N 33.797409°
W 40.166016°		 ← 2 030.39 m → N 33.797409°
W 40.144043°		 →
↑
2 030.57 m
↓
↑
2 030.57 m
↓
N 33.779147°
W 40.166016°		 ← 2 030.82 m →
4 123 275 m²		 N 33.779147°
W 40.144043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388458251953125 y=0.400177001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388458251953125 × 214)
    floor (0.388458251953125 × 16384)
    floor (6364.5)     		tx = 6364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400177001953125 × 214)
    floor (0.400177001953125 × 16384)
    floor (6556.5)     		ty = 6556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6364 / 6556 ti = "14/6364/6556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6364/6556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6364 ÷ 214
    6364 ÷ 16384     		x = 0.388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6556 ÷ 214
    6556 ÷ 16384     		y = 0.400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.22314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.70102922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400146484375 × 2 - 1) × π
    0.19970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.627398142227295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70102922} λ = -0.70102922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.627398142227295))-π/2
    2×atan(1.87273165347246)-π/2
    2×1.08033619420827-π/2
    2.16067238841653-1.57079632675     		φ = 0.58987606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70102922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.166016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58987606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.797409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6364 KachelY 6556 -0.70102922 0.58987606 -40.166016 33.797409
    Oben rechts KachelX + 1 6365 KachelY 6556 -0.70064572 0.58987606 -40.144043 33.797409
    Unten links KachelX 6364 KachelY + 1 6557 -0.70102922 0.58955734 -40.166016 33.779147
    Unten rechts KachelX + 1 6365 KachelY + 1 6557 -0.70064572 0.58955734 -40.144043 33.779147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58987606-0.58955734) × R
    0.000318719999999995 × 6371000     		dl = 2030.56511999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58987606-0.58955734) × R
    0.000318719999999995 × 6371000     		dr = 2030.56511999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70102922--0.70064572) × cos(0.58987606) × R
    0.000383499999999981 × 0.831009628103076 × 6371000     		do = 2030.38795763714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70102922--0.70064572) × cos(0.58955734) × R
    0.000383499999999981 × 0.831186876451994 × 6371000     		du = 2030.82102471721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58987606)-sin(0.58955734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831009628103076-0.831186876451994)×R²
    abs(-0.70064572--0.70102922)×0.000177248348918413×R²
    0.000383499999999981×0.000177248348918413×6371000²
    0.000383499999999981×0.000177248348918413×40589641000000     		ar = 4123274.68720406m²