Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 63635 / 42861
↖ ↑ ↗
← S 48.389090°
E169.557495°		 ← 405.60 m → S 48.389090°
E169.562988°		 →
↑
405.58 m
↓
↑
405.58 m
↓
S 48.392738°
E169.557495°		 ← 405.58 m →
164 499 m²		 S 48.392738°
E169.562988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.971000671386719 y=0.654014587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.971000671386719 × 216)
    floor (0.971000671386719 × 65536)
    floor (63635.5)     		tx = 63635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654014587402344 × 216)
    floor (0.654014587402344 × 65536)
    floor (42861.5)     		ty = 42861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63635 / 42861 ti = "16/63635/42861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63635/42861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63635 ÷ 216
    63635 ÷ 65536     		x = 0.970993041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42861 ÷ 216
    42861 ÷ 65536     		y = 0.654006958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.970993041992188 × 2 - 1) × π
    0.941986083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.95933656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654006958007812 × 2 - 1) × π
    -0.308013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.967654255730453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95933656} λ = 2.95933656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967654255730453))-π/2
    2×atan(0.379973313738968)-π/2
    2×0.363123690741788-π/2
    0.726247381483575-1.57079632675     		φ = -0.84454895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95933656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.557495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84454895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.389090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63635 KachelY 42861 2.95933656 -0.84454895 169.557495 -48.389090
    Oben rechts KachelX + 1 63636 KachelY 42861 2.95943243 -0.84454895 169.562988 -48.389090
    Unten links KachelX 63635 KachelY + 1 42862 2.95933656 -0.84461261 169.557495 -48.392738
    Unten rechts KachelX + 1 63636 KachelY + 1 42862 2.95943243 -0.84461261 169.562988 -48.392738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84454895--0.84461261) × R
    6.36600000000209e-05 × 6371000     		dl = 405.577860000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84454895--0.84461261) × R
    6.36600000000209e-05 × 6371000     		dr = 405.577860000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95933656-2.95943243) × cos(-0.84454895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664068587328828 × 6371000     		do = 405.604971581616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95933656-2.95943243) × cos(-0.84461261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664020989205378 × 6371000     		du = 405.575899229938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84454895)-sin(-0.84461261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664068587328828-0.664020989205378)×R²
    abs(2.95943243-2.95933656)×4.75981234507872e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75981234507872e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75981234507872e-05×40589641000000     		ar = 164498.50088358m²