Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 63625 / 42855
↖ ↑ ↗
← S 48.367198°
E169.502563°		 ← 405.82 m → S 48.367198°
E169.508057°		 →
↑
405.77 m
↓
↑
405.77 m
↓
S 48.370847°
E169.502563°		 ← 405.79 m →
164 664 m²		 S 48.370847°
E169.508057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.970848083496094 y=0.653923034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.970848083496094 × 216)
    floor (0.970848083496094 × 65536)
    floor (63625.5)     		tx = 63625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653923034667969 × 216)
    floor (0.653923034667969 × 65536)
    floor (42855.5)     		ty = 42855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63625 / 42855 ti = "16/63625/42855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63625/42855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63625 ÷ 216
    63625 ÷ 65536     		x = 0.970840454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42855 ÷ 216
    42855 ÷ 65536     		y = 0.653915405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.970840454101562 × 2 - 1) × π
    0.941680908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.95837782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653915405273438 × 2 - 1) × π
    -0.307830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.967079012935013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95837782} λ = 2.95837782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967079012935013))-π/2
    2×atan(0.380191953529609)-π/2
    2×0.363314732153235-π/2
    0.726629464306471-1.57079632675     		φ = -0.84416686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95837782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.502563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84416686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.367198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63625 KachelY 42855 2.95837782 -0.84416686 169.502563 -48.367198
    Oben rechts KachelX + 1 63626 KachelY 42855 2.95847370 -0.84416686 169.508057 -48.367198
    Unten links KachelX 63625 KachelY + 1 42856 2.95837782 -0.84423055 169.502563 -48.370847
    Unten rechts KachelX + 1 63626 KachelY + 1 42856 2.95847370 -0.84423055 169.508057 -48.370847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84416686--0.84423055) × R
    6.36900000000606e-05 × 6371000     		dl = 405.768990000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84416686--0.84423055) × R
    6.36900000000606e-05 × 6371000     		dr = 405.768990000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95837782-2.95847370) × cos(-0.84416686) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.664354216711882 × 6371000     		do = 405.821756522428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95837782-2.95847370) × cos(-0.84423055) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.664306612320225 × 6371000     		du = 405.79267730933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84416686)-sin(-0.84423055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664354216711882-0.664306612320225)×R²
    abs(2.95847370-2.95837782)×4.76043916565194e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76043916565194e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76043916565194e-05×40589641000000     		ar = 164663.984598635m²