Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63622 / 76686
↖ ↑ ↗
← S 29.262441°
W  5.256958°		 ← 266.45 m → S 29.262441°
W  5.254211°		 →
↑
266.44 m
↓
↑
266.44 m
↓
S 29.264837°
W  5.256958°		 ← 266.44 m →
70 991 m²		 S 29.264837°
W  5.254211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485401153564453 y=0.585071563720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485401153564453 × 217)
    floor (0.485401153564453 × 131072)
    floor (63622.5)     		tx = 63622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585071563720703 × 217)
    floor (0.585071563720703 × 131072)
    floor (76686.5)     		ty = 76686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63622 / 76686 ti = "17/63622/76686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63622/76686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63622 ÷ 217
    63622 ÷ 131072     		x = 0.485397338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76686 ÷ 217
    76686 ÷ 131072     		y = 0.585067749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485397338867188 × 2 - 1) × π
    -0.029205322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09175123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585067749023438 × 2 - 1) × π
    -0.170135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.534496430763626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09175123} λ = -0.09175123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534496430763626))-π/2
    2×atan(0.585964289452054)-π/2
    2×0.530035193867958-π/2
    1.06007038773592-1.57079632675     		φ = -0.51072594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09175123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.256958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51072594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.262441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63622 KachelY 76686 -0.09175123 -0.51072594 -5.256958 -29.262441
    Oben rechts KachelX + 1 63623 KachelY 76686 -0.09170329 -0.51072594 -5.254211 -29.262441
    Unten links KachelX 63622 KachelY + 1 76687 -0.09175123 -0.51076776 -5.256958 -29.264837
    Unten rechts KachelX + 1 63623 KachelY + 1 76687 -0.09170329 -0.51076776 -5.254211 -29.264837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51072594--0.51076776) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dl = 266.43521999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51072594--0.51076776) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dr = 266.43521999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09175123--0.09170329) × cos(-0.51072594) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.872389890322959 × 6371000     		do = 266.450327820388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09175123--0.09170329) × cos(-0.51076776) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.87236944749753 × 6371000     		du = 266.444084055304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51072594)-sin(-0.51076776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872389890322959-0.87236944749753)×R²
    abs(-0.09170329--0.09175123)×2.04428254291233e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.04428254291233e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.04428254291233e-05×40589641000000     		ar = 70990.9199427958m²