Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6362 / 6163
↖ ↑ ↗
← S 66.843807°
E 99.580078°		 ← 1 921.56 m → S 66.843807°
E 99.624023°		 →
↑
1 920.92 m
↓
↑
1 920.92 m
↓
S 66.861082°
E 99.580078°		 ← 1 920.21 m →
3 689 862 m²		 S 66.861082°
E 99.624023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77667236328125 y=0.75238037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77667236328125 × 213)
    floor (0.77667236328125 × 8192)
    floor (6362.5)     		tx = 6362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75238037109375 × 213)
    floor (0.75238037109375 × 8192)
    floor (6163.5)     		ty = 6163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6362 / 6163 ti = "13/6362/6163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6362/6163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6362 ÷ 213
    6362 ÷ 8192     		x = 0.776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6163 ÷ 213
    6163 ÷ 8192     		y = 0.7523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776611328125 × 2 - 1) × π
    0.55322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73800023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7523193359375 × 2 - 1) × π
    -0.504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5853691442345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73800023} λ = 1.73800023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5853691442345))-π/2
    2×atan(0.204872151782735)-π/2
    2×0.202075901714966-π/2
    0.404151803429932-1.57079632675     		φ = -1.16664452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73800023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16664452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.843807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6362 KachelY 6163 1.73800023 -1.16664452 99.580078 -66.843807
    Oben rechts KachelX + 1 6363 KachelY 6163 1.73876722 -1.16664452 99.624023 -66.843807
    Unten links KachelX 6362 KachelY + 1 6164 1.73800023 -1.16694603 99.580078 -66.861082
    Unten rechts KachelX + 1 6363 KachelY + 1 6164 1.73876722 -1.16694603 99.624023 -66.861082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16664452--1.16694603) × R
    0.000301510000000116 × 6371000     		dl = 1920.92021000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16664452--1.16694603) × R
    0.000301510000000116 × 6371000     		dr = 1920.92021000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73800023-1.73876722) × cos(-1.16664452) × R
    0.000766990000000023 × 0.393239042321398 × 6371000     		do = 1921.5599416696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73800023-1.73876722) × cos(-1.16694603) × R
    0.000766990000000023 × 0.392961805221324 × 6371000     		du = 1920.20522444034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16664452)-sin(-1.16694603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393239042321398-0.392961805221324)×R²
    abs(1.73876722-1.73800023)×0.000277237100074323×R²
    0.000766990000000023×0.000277237100074323×6371000²
    0.000766990000000023×0.000277237100074323×40589641000000     		ar = 3689862.20278202m²