Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6362 / 10209
↖ ↑ ↗
← S 40.463666°
W 40.209961°		 ← 1 858.84 m → S 40.463666°
W 40.187989°		 →
↑
1 858.68 m
↓
↑
1 858.68 m
↓
S 40.480382°
W 40.209961°		 ← 1 858.38 m →
3 454 552 m²		 S 40.480382°
W 40.187989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388336181640625 y=0.623138427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388336181640625 × 214)
    floor (0.388336181640625 × 16384)
    floor (6362.5)     		tx = 6362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623138427734375 × 214)
    floor (0.623138427734375 × 16384)
    floor (10209.5)     		ty = 10209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6362 / 10209 ti = "14/6362/10209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6362/10209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6362 ÷ 214
    6362 ÷ 16384     		x = 0.3883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10209 ÷ 214
    10209 ÷ 16384     		y = 0.62310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3883056640625 × 2 - 1) × π
    -0.223388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.70179621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.2462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.773509812269226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70179621} λ = -0.70179621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773509812269226))-π/2
    2×atan(0.461390827908227)-π/2
    2×0.432286061009655-π/2
    0.86457212201931-1.57079632675     		φ = -0.70622420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70179621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.209961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70622420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.463666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6362 KachelY 10209 -0.70179621 -0.70622420 -40.209961 -40.463666
    Oben rechts KachelX + 1 6363 KachelY 10209 -0.70141272 -0.70622420 -40.187989 -40.463666
    Unten links KachelX 6362 KachelY + 1 10210 -0.70179621 -0.70651594 -40.209961 -40.480382
    Unten rechts KachelX + 1 6363 KachelY + 1 10210 -0.70141272 -0.70651594 -40.187989 -40.480382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70622420--0.70651594) × R
    0.000291739999999985 × 6371000     		dl = 1858.6755399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70622420--0.70651594) × R
    0.000291739999999985 × 6371000     		dr = 1858.6755399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70179621--0.70141272) × cos(-0.70622420) × R
    0.000383490000000042 × 0.760817658245638 × 6371000     		do = 1858.84095511911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70179621--0.70141272) × cos(-0.70651594) × R
    0.000383490000000042 × 0.760628296615062 × 6371000     		du = 1858.37830398263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70622420)-sin(-0.70651594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760817658245638-0.760628296615062)×R²
    abs(-0.70141272--0.70179621)×0.00018936163057548×R²
    0.000383490000000042×0.00018936163057548×6371000²
    0.000383490000000042×0.00018936163057548×40589641000000     		ar = 3454552.28135747m²