Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6360 / 6104
↖ ↑ ↗
← S 65.802776°
E 99.492187°		 ← 2 002.87 m → S 65.802776°
E 99.536133°		 →
↑
2 002.21 m
↓
↑
2 002.21 m
↓
S 65.820782°
E 99.492187°		 ← 2 001.47 m →
4 008 773 m²		 S 65.820782°
E 99.536133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77642822265625 y=0.74517822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77642822265625 × 213)
    floor (0.77642822265625 × 8192)
    floor (6360.5)     		tx = 6360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74517822265625 × 213)
    floor (0.74517822265625 × 8192)
    floor (6104.5)     		ty = 6104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6360 / 6104 ti = "13/6360/6104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6360/6104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6360 ÷ 213
    6360 ÷ 8192     		x = 0.7763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6104 ÷ 213
    6104 ÷ 8192     		y = 0.7451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7763671875 × 2 - 1) × π
    0.552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73646625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7451171875 × 2 - 1) × π
    -0.490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54011671099316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73646625} λ = 1.73646625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54011671099316))-π/2
    2×atan(0.214356082255749)-π/2
    2×0.211160610897234-π/2
    0.422321221794468-1.57079632675     		φ = -1.14847510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73646625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.492187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14847510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.802776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6360 KachelY 6104 1.73646625 -1.14847510 99.492187 -65.802776
    Oben rechts KachelX + 1 6361 KachelY 6104 1.73723324 -1.14847510 99.536133 -65.802776
    Unten links KachelX 6360 KachelY + 1 6105 1.73646625 -1.14878937 99.492187 -65.820782
    Unten rechts KachelX + 1 6361 KachelY + 1 6105 1.73723324 -1.14878937 99.536133 -65.820782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14847510--1.14878937) × R
    0.000314270000000061 × 6371000     		dl = 2002.21417000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14847510--1.14878937) × R
    0.000314270000000061 × 6371000     		dr = 2002.21417000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73646625-1.73723324) × cos(-1.14847510) × R
    0.000766989999999801 × 0.409878839145317 × 6371000     		do = 2002.87019719606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73646625-1.73723324) × cos(-1.14878937) × R
    0.000766989999999801 × 0.409592160678565 × 6371000     		du = 2001.46934479189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14847510)-sin(-1.14878937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409878839145317-0.409592160678565)×R²
    abs(1.73723324-1.73646625)×0.000286678466752011×R²
    0.000766989999999801×0.000286678466752011×6371000²
    0.000766989999999801×0.000286678466752011×40589641000000     		ar = 4008772.71922478m²