Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63598 / 75135
↖ ↑ ↗
← S 25.480472°
W  5.322876°		 ← 275.72 m → S 25.480472°
W  5.320129°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
S 25.482951°
W  5.322876°		 ← 275.71 m →
76 007 m²		 S 25.482951°
W  5.320129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485218048095703 y=0.573238372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485218048095703 × 217)
    floor (0.485218048095703 × 131072)
    floor (63598.5)     		tx = 63598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573238372802734 × 217)
    floor (0.573238372802734 × 131072)
    floor (75135.5)     		ty = 75135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63598 / 75135 ti = "17/63598/75135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63598/75135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63598 ÷ 217
    63598 ÷ 131072     		x = 0.485214233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75135 ÷ 217
    75135 ÷ 131072     		y = 0.573234558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485214233398438 × 2 - 1) × π
    -0.029571533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09290171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573234558105469 × 2 - 1) × π
    -0.146469116210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.460146299452919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09290171} λ = -0.09290171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.460146299452919))-π/2
    2×atan(0.631191295810471)-π/2
    2×0.563039099698585-π/2
    1.12607819939717-1.57079632675     		φ = -0.44471813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09290171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.322876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44471813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.480472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63598 KachelY 75135 -0.09290171 -0.44471813 -5.322876 -25.480472
    Oben rechts KachelX + 1 63599 KachelY 75135 -0.09285377 -0.44471813 -5.320129 -25.480472
    Unten links KachelX 63598 KachelY + 1 75136 -0.09290171 -0.44476140 -5.322876 -25.482951
    Unten rechts KachelX + 1 63599 KachelY + 1 75136 -0.09285377 -0.44476140 -5.320129 -25.482951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44471813--0.44476140) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44471813--0.44476140) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09290171--0.09285377) × cos(-0.44471813) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902731962700723 × 6371000     		do = 275.7175777295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09290171--0.09285377) × cos(-0.44476140) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902713346952603 × 6371000     		du = 275.711892000854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44471813)-sin(-0.44476140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902731962700723-0.902713346952603)×R²
    abs(-0.09285377--0.09290171)×1.8615748119899e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8615748119899e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8615748119899e-05×40589641000000     		ar = 76007.1549878742m²