Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63597 / 75134
↖ ↑ ↗
← S 25.477992°
W  5.325623°		 ← 275.72 m → S 25.477992°
W  5.322876°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
S 25.480472°
W  5.325623°		 ← 275.72 m →
76 026 m²		 S 25.480472°
W  5.322876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485210418701172 y=0.573230743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485210418701172 × 217)
    floor (0.485210418701172 × 131072)
    floor (63597.5)     		tx = 63597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573230743408203 × 217)
    floor (0.573230743408203 × 131072)
    floor (75134.5)     		ty = 75134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63597 / 75134 ti = "17/63597/75134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63597/75134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63597 ÷ 217
    63597 ÷ 131072     		x = 0.485206604003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75134 ÷ 217
    75134 ÷ 131072     		y = 0.573226928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485206604003906 × 2 - 1) × π
    -0.0295867919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09294965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573226928710938 × 2 - 1) × π
    -0.146453857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.460098362553299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09294965} λ = -0.09294965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.460098362553299))-π/2
    2×atan(0.631221553889493)-π/2
    2×0.563060737007454-π/2
    1.12612147401491-1.57079632675     		φ = -0.44467485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09294965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.325623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44467485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.477992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63597 KachelY 75134 -0.09294965 -0.44467485 -5.325623 -25.477992
    Oben rechts KachelX + 1 63598 KachelY 75134 -0.09290171 -0.44467485 -5.322876 -25.477992
    Unten links KachelX 63597 KachelY + 1 75135 -0.09294965 -0.44471813 -5.325623 -25.480472
    Unten rechts KachelX + 1 63598 KachelY + 1 75135 -0.09290171 -0.44471813 -5.322876 -25.480472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44467485--0.44471813) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dl = 275.736879999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44467485--0.44471813) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dr = 275.736879999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09294965--0.09290171) × cos(-0.44467485) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902750581060308 × 6371000     		do = 275.723264255753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09294965--0.09290171) × cos(-0.44471813) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902731962700723 × 6371000     		du = 275.7175777295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44467485)-sin(-0.44471813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902750581060308-0.902731962700723)×R²
    abs(-0.09290171--0.09294965)×1.86183595850542e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86183595850542e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86183595850542e-05×40589641000000     		ar = 76026.2886486042m²