Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6359 / 6041
↖ ↑ ↗
← S 64.642704°
E 99.448242°		 ← 2 092.70 m → S 64.642704°
E 99.492187°		 →
↑
2 091.98 m
↓
↑
2 091.98 m
↓
S 64.661518°
E 99.448242°		 ← 2 091.25 m →
4 376 369 m²		 S 64.661518°
E 99.492187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77630615234375 y=0.73748779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77630615234375 × 213)
    floor (0.77630615234375 × 8192)
    floor (6359.5)     		tx = 6359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73748779296875 × 213)
    floor (0.73748779296875 × 8192)
    floor (6041.5)     		ty = 6041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6359 / 6041 ti = "13/6359/6041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6359/6041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6359 ÷ 213
    6359 ÷ 8192     		x = 0.7762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6041 ÷ 213
    6041 ÷ 8192     		y = 0.7374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7762451171875 × 2 - 1) × π
    0.552490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73569926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.474853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49179631617615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73569926} λ = 1.73569926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49179631617615))-π/2
    2×atan(0.224968178385821)-π/2
    2×0.221284153870903-π/2
    0.442568307741807-1.57079632675     		φ = -1.12822802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73569926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12822802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.642704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6359 KachelY 6041 1.73569926 -1.12822802 99.448242 -64.642704
    Oben rechts KachelX + 1 6360 KachelY 6041 1.73646625 -1.12822802 99.492187 -64.642704
    Unten links KachelX 6359 KachelY + 1 6042 1.73569926 -1.12855638 99.448242 -64.661518
    Unten rechts KachelX + 1 6360 KachelY + 1 6042 1.73646625 -1.12855638 99.492187 -64.661518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12822802--1.12855638) × R
    0.000328359999999916 × 6371000     		dl = 2091.98155999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12822802--1.12855638) × R
    0.000328359999999916 × 6371000     		dr = 2091.98155999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73569926-1.73646625) × cos(-1.12822802) × R
    0.000766990000000023 × 0.428261737565633 × 6371000     		do = 2092.69810697827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73569926-1.73646625) × cos(-1.12855638) × R
    0.000766990000000023 × 0.427964990413793 × 6371000     		du = 2091.24805401197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12822802)-sin(-1.12855638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428261737565633-0.427964990413793)×R²
    abs(1.73646625-1.73569926)×0.000296747151840193×R²
    0.000766990000000023×0.000296747151840193×6371000²
    0.000766990000000023×0.000296747151840193×40589641000000     		ar = 4376369.14773076m²