Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 63589 / 42871
↖ ↑ ↗
← S 48.425555°
E169.304810°		 ← 405.31 m → S 48.425555°
E169.310303°		 →
↑
405.32 m
↓
↑
405.32 m
↓
S 48.429200°
E169.304810°		 ← 405.29 m →
164 277 m²		 S 48.429200°
E169.310303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.970298767089844 y=0.654167175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.970298767089844 × 216)
    floor (0.970298767089844 × 65536)
    floor (63589.5)     		tx = 63589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654167175292969 × 216)
    floor (0.654167175292969 × 65536)
    floor (42871.5)     		ty = 42871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63589 / 42871 ti = "16/63589/42871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63589/42871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63589 ÷ 216
    63589 ÷ 65536     		x = 0.970291137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42871 ÷ 216
    42871 ÷ 65536     		y = 0.654159545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.970291137695312 × 2 - 1) × π
    0.940582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.95492637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654159545898438 × 2 - 1) × π
    -0.308319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.968612993722855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95492637} λ = 2.95492637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968612993722855))-π/2
    2×atan(0.37960919346285)-π/2
    2×0.362805470936466-π/2
    0.725610941872933-1.57079632675     		φ = -0.84518538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95492637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.304810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84518538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.425555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63589 KachelY 42871 2.95492637 -0.84518538 169.304810 -48.425555
    Oben rechts KachelX + 1 63590 KachelY 42871 2.95502224 -0.84518538 169.310303 -48.425555
    Unten links KachelX 63589 KachelY + 1 42872 2.95492637 -0.84524900 169.304810 -48.429200
    Unten rechts KachelX + 1 63590 KachelY + 1 42872 2.95502224 -0.84524900 169.310303 -48.429200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84518538--0.84524900) × R
    6.3620000000042e-05 × 6371000     		dl = 405.323020000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84518538--0.84524900) × R
    6.3620000000042e-05 × 6371000     		dr = 405.323020000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95492637-2.95502224) × cos(-0.84518538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663592612198101 × 6371000     		do = 405.314251792944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95492637-2.95502224) × cos(-0.84524900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663545017105883 × 6371000     		du = 405.285181292705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84518538)-sin(-0.84524900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663592612198101-0.663545017105883)×R²
    abs(2.95502224-2.95492637)×4.75950922179669e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75950922179669e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75950922179669e-05×40589641000000     		ar = 164277.305169618m²