Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63574 / 77005
↖ ↑ ↗
← S 30.023922°
W  5.388794°		 ← 264.44 m → S 30.023922°
W  5.386047°		 →
↑
264.40 m
↓
↑
264.40 m
↓
S 30.026300°
W  5.388794°		 ← 264.44 m →
69 917 m²		 S 30.026300°
W  5.386047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485034942626953 y=0.587505340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485034942626953 × 217)
    floor (0.485034942626953 × 131072)
    floor (63574.5)     		tx = 63574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587505340576172 × 217)
    floor (0.587505340576172 × 131072)
    floor (77005.5)     		ty = 77005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63574 / 77005 ti = "17/63574/77005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63574/77005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63574 ÷ 217
    63574 ÷ 131072     		x = 0.485031127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77005 ÷ 217
    77005 ÷ 131072     		y = 0.587501525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485031127929688 × 2 - 1) × π
    -0.029937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09405220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587501525878906 × 2 - 1) × π
    -0.175003051757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.549788301742424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09405220} λ = -0.09405220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549788301742424))-π/2
    2×atan(0.577071962579301)-π/2
    2×0.523390020486447-π/2
    1.04678004097289-1.57079632675     		φ = -0.52401629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09405220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.388794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52401629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.023922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63574 KachelY 77005 -0.09405220 -0.52401629 -5.388794 -30.023922
    Oben rechts KachelX + 1 63575 KachelY 77005 -0.09400426 -0.52401629 -5.386047 -30.023922
    Unten links KachelX 63574 KachelY + 1 77006 -0.09405220 -0.52405779 -5.388794 -30.026300
    Unten rechts KachelX + 1 63575 KachelY + 1 77006 -0.09400426 -0.52405779 -5.386047 -30.026300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52401629--0.52405779) × R
    4.14999999999166e-05 × 6371000     		dl = 264.396499999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52401629--0.52405779) × R
    4.14999999999166e-05 × 6371000     		dr = 264.396499999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09405220--0.09400426) × cos(-0.52401629) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865816571107627 × 6371000     		do = 264.442666934789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09405220--0.09400426) × cos(-0.52405779) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865795805358375 × 6371000     		du = 264.436324540457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52401629)-sin(-0.52405779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865816571107627-0.865795805358375)×R²
    abs(-0.09400426--0.09405220)×2.07657492515834e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07657492515834e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07657492515834e-05×40589641000000     		ar = 69916.8771446868m²