Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63573 / 77003
↖ ↑ ↗
← S 30.019165°
W  5.391540°		 ← 264.40 m → S 30.019165°
W  5.388794°		 →
↑
264.46 m
↓
↑
264.46 m
↓
S 30.021543°
W  5.391540°		 ← 264.39 m →
69 922 m²		 S 30.021543°
W  5.388794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485027313232422 y=0.587490081787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485027313232422 × 217)
    floor (0.485027313232422 × 131072)
    floor (63573.5)     		tx = 63573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587490081787109 × 217)
    floor (0.587490081787109 × 131072)
    floor (77003.5)     		ty = 77003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63573 / 77003 ti = "17/63573/77003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63573/77003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63573 ÷ 217
    63573 ÷ 131072     		x = 0.485023498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77003 ÷ 217
    77003 ÷ 131072     		y = 0.587486267089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485023498535156 × 2 - 1) × π
    -0.0299530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09410013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587486267089844 × 2 - 1) × π
    -0.174972534179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.549692427943184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09410013} λ = -0.09410013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549692427943184))-π/2
    2×atan(0.577127291313034)-π/2
    2×0.523431526044093-π/2
    1.04686305208819-1.57079632675     		φ = -0.52393327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09410013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.391540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52393327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.019165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63573 KachelY 77003 -0.09410013 -0.52393327 -5.391540 -30.019165
    Oben rechts KachelX + 1 63574 KachelY 77003 -0.09405220 -0.52393327 -5.388794 -30.019165
    Unten links KachelX 63573 KachelY + 1 77004 -0.09410013 -0.52397478 -5.391540 -30.021543
    Unten rechts KachelX + 1 63574 KachelY + 1 77004 -0.09405220 -0.52397478 -5.388794 -30.021543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52393327--0.52397478) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dl = 264.460209999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52393327--0.52397478) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dr = 264.460209999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09410013--0.09405220) × cos(-0.52393327) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.86585810813843 × 6371000     		do = 264.400189593119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09410013--0.09405220) × cos(-0.52397478) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.865837340368982 × 6371000     		du = 264.393847904882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52393327)-sin(-0.52397478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86585810813843-0.865837340368982)×R²
    abs(-0.09405220--0.09410013)×2.07677694478159e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.07677694478159e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.07677694478159e-05×40589641000000     		ar = 69922.4911118044m²