Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63567 / 77008
↖ ↑ ↗
← S 30.031055°
W  5.408020°		 ← 264.42 m → S 30.031055°
W  5.405274°		 →
↑
264.46 m
↓
↑
264.46 m
↓
S 30.033433°
W  5.408020°		 ← 264.42 m →
69 929 m²		 S 30.033433°
W  5.405274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484981536865234 y=0.587528228759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484981536865234 × 217)
    floor (0.484981536865234 × 131072)
    floor (63567.5)     		tx = 63567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587528228759766 × 217)
    floor (0.587528228759766 × 131072)
    floor (77008.5)     		ty = 77008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63567 / 77008 ti = "17/63567/77008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63567/77008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63567 ÷ 217
    63567 ÷ 131072     		x = 0.484977722167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77008 ÷ 217
    77008 ÷ 131072     		y = 0.5875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484977722167969 × 2 - 1) × π
    -0.0300445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09438776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.549932112441284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09438776} λ = -0.09438776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549932112441284))-π/2
    2×atan(0.576988979424145)-π/2
    2×0.523327765883234-π/2
    1.04665553176647-1.57079632675     		φ = -0.52414079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09438776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.408020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52414079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.031055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63567 KachelY 77008 -0.09438776 -0.52414079 -5.408020 -30.031055
    Oben rechts KachelX + 1 63568 KachelY 77008 -0.09433982 -0.52414079 -5.405274 -30.031055
    Unten links KachelX 63567 KachelY + 1 77009 -0.09438776 -0.52418230 -5.408020 -30.033433
    Unten rechts KachelX + 1 63568 KachelY + 1 77009 -0.09433982 -0.52418230 -5.405274 -30.033433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52414079--0.52418230) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dl = 264.460209999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52414079--0.52418230) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dr = 264.460209999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09438776--0.09433982) × cos(-0.52414079) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865754269386557 × 6371000     		do = 264.423638385528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09438776--0.09433982) × cos(-0.52418230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.86573349415901 × 6371000     		du = 264.417293096281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52414079)-sin(-0.52418230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865754269386557-0.86573349415901)×R²
    abs(-0.09433982--0.09438776)×2.07752275473982e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07752275473982e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07752275473982e-05×40589641000000     		ar = 69928.6919081759m²