Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6356 / 6084
↖ ↑ ↗
← S 65.440002°
E 99.316406°		 ← 2 031.05 m → S 65.440002°
E 99.360352°		 →
↑
2 030.37 m
↓
↑
2 030.37 m
↓
S 65.458261°
E 99.316406°		 ← 2 029.63 m →
4 122 355 m²		 S 65.458261°
E 99.360352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77593994140625 y=0.74273681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77593994140625 × 213)
    floor (0.77593994140625 × 8192)
    floor (6356.5)     		tx = 6356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74273681640625 × 213)
    floor (0.74273681640625 × 8192)
    floor (6084.5)     		ty = 6084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6356 / 6084 ti = "13/6356/6084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6356/6084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6356 ÷ 213
    6356 ÷ 8192     		x = 0.77587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6084 ÷ 213
    6084 ÷ 8192     		y = 0.74267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77587890625 × 2 - 1) × π
    0.5517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73339829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74267578125 × 2 - 1) × π
    -0.4853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52477690311475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73339829} λ = 1.73339829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52477690311475))-π/2
    2×atan(0.217669612861329)-π/2
    2×0.214326417670736-π/2
    0.428652835341472-1.57079632675     		φ = -1.14214349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73339829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14214349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.440002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6356 KachelY 6084 1.73339829 -1.14214349 99.316406 -65.440002
    Oben rechts KachelX + 1 6357 KachelY 6084 1.73416528 -1.14214349 99.360352 -65.440002
    Unten links KachelX 6356 KachelY + 1 6085 1.73339829 -1.14246218 99.316406 -65.458261
    Unten rechts KachelX + 1 6357 KachelY + 1 6085 1.73416528 -1.14246218 99.360352 -65.458261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14214349--1.14246218) × R
    0.000318690000000066 × 6371000     		dl = 2030.37399000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14214349--1.14246218) × R
    0.000318690000000066 × 6371000     		dr = 2030.37399000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73339829-1.73416528) × cos(-1.14214349) × R
    0.000766990000000023 × 0.415645899308277 × 6371000     		do = 2031.05089798597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73339829-1.73416528) × cos(-1.14246218) × R
    0.000766990000000023 × 0.415356021200072 × 6371000     		du = 2029.63441055531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14214349)-sin(-1.14246218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415645899308277-0.415356021200072)×R²
    abs(1.73416528-1.73339829)×0.000289878108205133×R²
    0.000766990000000023×0.000289878108205133×6371000²
    0.000766990000000023×0.000289878108205133×40589641000000     		ar = 4122354.95090763m²