Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6356 / 6083
↖ ↑ ↗
← S 65.421729°
E 99.316406°		 ← 2 032.47 m → S 65.421729°
E 99.360352°		 →
↑
2 031.78 m
↓
↑
2 031.78 m
↓
S 65.440002°
E 99.316406°		 ← 2 031.05 m →
4 128 079 m²		 S 65.440002°
E 99.360352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77593994140625 y=0.74261474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77593994140625 × 213)
    floor (0.77593994140625 × 8192)
    floor (6356.5)     		tx = 6356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74261474609375 × 213)
    floor (0.74261474609375 × 8192)
    floor (6083.5)     		ty = 6083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6356 / 6083 ti = "13/6356/6083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6356/6083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6356 ÷ 213
    6356 ÷ 8192     		x = 0.77587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6083 ÷ 213
    6083 ÷ 8192     		y = 0.7425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77587890625 × 2 - 1) × π
    0.5517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73339829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52400991272083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73339829} λ = 1.73339829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52400991272083))-π/2
    2×atan(0.21783662740453)-π/2
    2×0.214485871484421-π/2
    0.428971742968842-1.57079632675     		φ = -1.14182458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73339829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14182458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.421729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6356 KachelY 6083 1.73339829 -1.14182458 99.316406 -65.421729
    Oben rechts KachelX + 1 6357 KachelY 6083 1.73416528 -1.14182458 99.360352 -65.421729
    Unten links KachelX 6356 KachelY + 1 6084 1.73339829 -1.14214349 99.316406 -65.440002
    Unten rechts KachelX + 1 6357 KachelY + 1 6084 1.73416528 -1.14214349 99.360352 -65.440002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14182458--1.14214349) × R
    0.000318910000000061 × 6371000     		dl = 2031.77561000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14182458--1.14214349) × R
    0.000318910000000061 × 6371000     		dr = 2031.77561000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73339829-1.73416528) × cos(-1.14182458) × R
    0.000766990000000023 × 0.415935935268779 × 6371000     		do = 2032.46815676082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73339829-1.73416528) × cos(-1.14214349) × R
    0.000766990000000023 × 0.415645899308277 × 6371000     		du = 2031.05089798597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14182458)-sin(-1.14214349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415935935268779-0.415645899308277)×R²
    abs(1.73416528-1.73339829)×0.000290035960501644×R²
    0.000766990000000023×0.000290035960501644×6371000²
    0.000766990000000023×0.000290035960501644×40589641000000     		ar = 4128079.48809283m²