Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 63548 / 42940
↖ ↑ ↗
← S 48.676454°
E169.079590°		 ← 403.31 m → S 48.676454°
E169.085083°		 →
↑
403.28 m
↓
↑
403.28 m
↓
S 48.680081°
E169.079590°		 ← 403.28 m →
162 643 m²		 S 48.680081°
E169.085083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969673156738281 y=0.655220031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969673156738281 × 216)
    floor (0.969673156738281 × 65536)
    floor (63548.5)     		tx = 63548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655220031738281 × 216)
    floor (0.655220031738281 × 65536)
    floor (42940.5)     		ty = 42940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63548 / 42940 ti = "16/63548/42940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63548/42940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63548 ÷ 216
    63548 ÷ 65536     		x = 0.96966552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42940 ÷ 216
    42940 ÷ 65536     		y = 0.65521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96966552734375 × 2 - 1) × π
    0.9393310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.95099554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.3104248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.975228285870422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95099554} λ = 2.95099554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975228285870422))-π/2
    2×atan(0.377106255706243)-π/2
    2×0.360615970709-π/2
    0.721231941418-1.57079632675     		φ = -0.84956439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95099554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.079590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84956439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.676454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63548 KachelY 42940 2.95099554 -0.84956439 169.079590 -48.676454
    Oben rechts KachelX + 1 63549 KachelY 42940 2.95109141 -0.84956439 169.085083 -48.676454
    Unten links KachelX 63548 KachelY + 1 42941 2.95099554 -0.84962769 169.079590 -48.680081
    Unten rechts KachelX + 1 63549 KachelY + 1 42941 2.95109141 -0.84962769 169.085083 -48.680081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84956439--0.84962769) × R
    6.33000000000994e-05 × 6371000     		dl = 403.284300000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84956439--0.84962769) × R
    6.33000000000994e-05 × 6371000     		dr = 403.284300000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95099554-2.95109141) × cos(-0.84956439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660310348514012 × 6371000     		do = 403.309485276787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95099554-2.95109141) × cos(-0.84962769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660262809344464 × 6371000     		du = 403.280448933431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84956439)-sin(-0.84962769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660310348514012-0.660262809344464)×R²
    abs(2.95109141-2.95099554)×4.75391695479166e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75391695479166e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75391695479166e-05×40589641000000     		ar = 162642.528556834m²