Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 63546 / 42930
↖ ↑ ↗
← S 48.640169°
E169.068603°		 ← 403.64 m → S 48.640169°
E169.074097°		 →
↑
403.60 m
↓
↑
403.60 m
↓
S 48.643798°
E169.068603°		 ← 403.61 m →
162 905 m²		 S 48.643798°
E169.074097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969642639160156 y=0.655067443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969642639160156 × 216)
    floor (0.969642639160156 × 65536)
    floor (63546.5)     		tx = 63546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655067443847656 × 216)
    floor (0.655067443847656 × 65536)
    floor (42930.5)     		ty = 42930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63546 / 42930 ti = "16/63546/42930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63546/42930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63546 ÷ 216
    63546 ÷ 65536     		x = 0.969635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42930 ÷ 216
    42930 ÷ 65536     		y = 0.655059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.969635009765625 × 2 - 1) × π
    0.93927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.95080379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.31011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.974269547878021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95080379} λ = 2.95080379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974269547878021))-π/2
    2×atan(0.37746797517015)-π/2
    2×0.360932616978285-π/2
    0.72186523395657-1.57079632675     		φ = -0.84893109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95080379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.068603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84893109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.640169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63546 KachelY 42930 2.95080379 -0.84893109 169.068603 -48.640169
    Oben rechts KachelX + 1 63547 KachelY 42930 2.95089967 -0.84893109 169.074097 -48.640169
    Unten links KachelX 63546 KachelY + 1 42931 2.95080379 -0.84899444 169.068603 -48.643798
    Unten rechts KachelX + 1 63547 KachelY + 1 42931 2.95089967 -0.84899444 169.074097 -48.643798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84893109--0.84899444) × R
    6.33500000000176e-05 × 6371000     		dl = 403.602850000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84893109--0.84899444) × R
    6.33500000000176e-05 × 6371000     		dr = 403.602850000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95080379-2.95089967) × cos(-0.84893109) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.660785819831948 × 6371000     		do = 403.641996007094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95080379-2.95089967) × cos(-0.84899444) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.660738269610609 × 6371000     		du = 403.612949884015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84893109)-sin(-0.84899444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660785819831948-0.660738269610609)×R²
    abs(2.95089967-2.95080379)×4.75502213383994e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75502213383994e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75502213383994e-05×40589641000000     		ar = 162905.198473706m²