Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 63544 / 42938
↖ ↑ ↗
← S 48.669199°
E169.057617°		 ← 403.37 m → S 48.669199°
E169.063110°		 →
↑
403.41 m
↓
↑
403.41 m
↓
S 48.672827°
E169.057617°		 ← 403.34 m →
162 717 m²		 S 48.672827°
E169.063110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969612121582031 y=0.655189514160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969612121582031 × 216)
    floor (0.969612121582031 × 65536)
    floor (63544.5)     		tx = 63544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655189514160156 × 216)
    floor (0.655189514160156 × 65536)
    floor (42938.5)     		ty = 42938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63544 / 42938 ti = "16/63544/42938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63544/42938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63544 ÷ 216
    63544 ÷ 65536     		x = 0.9696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42938 ÷ 216
    42938 ÷ 65536     		y = 0.655181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9696044921875 × 2 - 1) × π
    0.939208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.95061205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655181884765625 × 2 - 1) × π
    -0.31036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.975036538271942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95061205} λ = 2.95061205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975036538271942))-π/2
    2×atan(0.377178571858149)-π/2
    2×0.360679281729271-π/2
    0.721358563458543-1.57079632675     		φ = -0.84943776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95061205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.057617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84943776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.669199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63544 KachelY 42938 2.95061205 -0.84943776 169.057617 -48.669199
    Oben rechts KachelX + 1 63545 KachelY 42938 2.95070792 -0.84943776 169.063110 -48.669199
    Unten links KachelX 63544 KachelY + 1 42939 2.95061205 -0.84950108 169.057617 -48.672827
    Unten rechts KachelX + 1 63545 KachelY + 1 42939 2.95070792 -0.84950108 169.063110 -48.672827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84943776--0.84950108) × R
    6.33199999999778e-05 × 6371000     		dl = 403.411719999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84943776--0.84950108) × R
    6.33199999999778e-05 × 6371000     		dr = 403.411719999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95061205-2.95070792) × cos(-0.84943776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660405441442821 × 6371000     		do = 403.367566874717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95061205-2.95070792) × cos(-0.84950108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660357892547279 × 6371000     		du = 403.338524590843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84943776)-sin(-0.84950108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660405441442821-0.660357892547279)×R²
    abs(2.95070792-2.95061205)×4.75488955419268e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75488955419268e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75488955419268e-05×40589641000000     		ar = 162717.346000575m²