Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6353 / 6129
↖ ↑ ↗
← S 66.249163°
E 99.184570°		 ← 1 968.08 m → S 66.249163°
E 99.228516°		 →
↑
1 967.43 m
↓
↑
1 967.43 m
↓
S 66.266856°
E 99.184570°		 ← 1 966.70 m →
3 870 706 m²		 S 66.266856°
E 99.228516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77557373046875 y=0.74822998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77557373046875 × 213)
    floor (0.77557373046875 × 8192)
    floor (6353.5)     		tx = 6353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74822998046875 × 213)
    floor (0.74822998046875 × 8192)
    floor (6129.5)     		ty = 6129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6353 / 6129 ti = "13/6353/6129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6353/6129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6353 ÷ 213
    6353 ÷ 8192     		x = 0.7755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6129 ÷ 213
    6129 ÷ 8192     		y = 0.7481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7755126953125 × 2 - 1) × π
    0.551025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73109732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55929147084119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73109732} λ = 1.73109732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55929147084119))-π/2
    2×atan(0.210285011492568)-π/2
    2×0.207265151932982-π/2
    0.414530303865965-1.57079632675     		φ = -1.15626602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73109732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15626602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.249163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6353 KachelY 6129 1.73109732 -1.15626602 99.184570 -66.249163
    Oben rechts KachelX + 1 6354 KachelY 6129 1.73186431 -1.15626602 99.228516 -66.249163
    Unten links KachelX 6353 KachelY + 1 6130 1.73109732 -1.15657483 99.184570 -66.266856
    Unten rechts KachelX + 1 6354 KachelY + 1 6130 1.73186431 -1.15657483 99.228516 -66.266856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15626602--1.15657483) × R
    0.000308810000000159 × 6371000     		dl = 1967.42851000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15626602--1.15657483) × R
    0.000308810000000159 × 6371000     		dr = 1967.42851000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73109732-1.73186431) × cos(-1.15626602) × R
    0.000766990000000023 × 0.402760062009607 × 6371000     		do = 1968.08434048999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73109732-1.73186431) × cos(-1.15657483) × R
    0.000766990000000023 × 0.402477387288944 × 6371000     		du = 1966.70305236421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15626602)-sin(-1.15657483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402760062009607-0.402477387288944)×R²
    abs(1.73186431-1.73109732)×0.000282674720663123×R²
    0.000766990000000023×0.000282674720663123×6371000²
    0.000766990000000023×0.000282674720663123×40589641000000     		ar = 3870706.47950763m²