Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63526 / 75108
↖ ↑ ↗
← S 25.413509°
W  5.520630°		 ← 275.87 m → S 25.413509°
W  5.517883°		 →
↑
275.86 m
↓
↑
275.86 m
↓
S 25.415990°
W  5.520630°		 ← 275.87 m →
76 102 m²		 S 25.415990°
W  5.517883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484668731689453 y=0.573032379150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484668731689453 × 217)
    floor (0.484668731689453 × 131072)
    floor (63526.5)     		tx = 63526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573032379150391 × 217)
    floor (0.573032379150391 × 131072)
    floor (75108.5)     		ty = 75108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63526 / 75108 ti = "17/63526/75108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63526/75108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63526 ÷ 217
    63526 ÷ 131072     		x = 0.484664916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75108 ÷ 217
    75108 ÷ 131072     		y = 0.573028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484664916992188 × 2 - 1) × π
    -0.030670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09635317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.14605712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.458852003163177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09635317} λ = -0.09635317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458852003163177))-π/2
    2×atan(0.632008773277662)-π/2
    2×0.563623463556242-π/2
    1.12724692711248-1.57079632675     		φ = -0.44354940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09635317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.520630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44354940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.413509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63526 KachelY 75108 -0.09635317 -0.44354940 -5.520630 -25.413509
    Oben rechts KachelX + 1 63527 KachelY 75108 -0.09630523 -0.44354940 -5.517883 -25.413509
    Unten links KachelX 63526 KachelY + 1 75109 -0.09635317 -0.44359270 -5.520630 -25.415990
    Unten rechts KachelX + 1 63527 KachelY + 1 75109 -0.09630523 -0.44359270 -5.517883 -25.415990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44354940--0.44359270) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dl = 275.864300000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44354940--0.44359270) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dr = 275.864300000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09635317--0.09630523) × cos(-0.44354940) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903234137723578 × 6371000     		do = 275.870954907465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09635317--0.09630523) × cos(-0.44359270) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903215554764086 × 6371000     		du = 275.86527919331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44354940)-sin(-0.44359270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903234137723578-0.903215554764086)×R²
    abs(-0.09630523--0.09635317)×1.85829594927522e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85829594927522e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85829594927522e-05×40589641000000     		ar = 76102.1650144179m²