Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63526 / 75105
↖ ↑ ↗
← S 25.406066°
W  5.520630°		 ← 275.89 m → S 25.406066°
W  5.517883°		 →
↑
275.86 m
↓
↑
275.86 m
↓
S 25.408547°
W  5.520630°		 ← 275.88 m →
76 107 m²		 S 25.408547°
W  5.517883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484668731689453 y=0.573009490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484668731689453 × 217)
    floor (0.484668731689453 × 131072)
    floor (63526.5)     		tx = 63526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573009490966797 × 217)
    floor (0.573009490966797 × 131072)
    floor (75105.5)     		ty = 75105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63526 / 75105 ti = "17/63526/75105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63526/75105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63526 ÷ 217
    63526 ÷ 131072     		x = 0.484664916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75105 ÷ 217
    75105 ÷ 131072     		y = 0.573005676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484664916992188 × 2 - 1) × π
    -0.030670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09635317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573005676269531 × 2 - 1) × π
    -0.146011352539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.458708192464317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09635317} λ = -0.09635317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458708192464317))-π/2
    2×atan(0.632099669436797)-π/2
    2×0.563688412926549-π/2
    1.1273768258531-1.57079632675     		φ = -0.44341950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09635317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.520630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44341950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.406066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63526 KachelY 75105 -0.09635317 -0.44341950 -5.520630 -25.406066
    Oben rechts KachelX + 1 63527 KachelY 75105 -0.09630523 -0.44341950 -5.517883 -25.406066
    Unten links KachelX 63526 KachelY + 1 75106 -0.09635317 -0.44346280 -5.520630 -25.408547
    Unten rechts KachelX + 1 63527 KachelY + 1 75106 -0.09630523 -0.44346280 -5.517883 -25.408547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44341950--0.44346280) × R
    4.32999999999684e-05 × 6371000     		dl = 275.864299999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44341950--0.44346280) × R
    4.32999999999684e-05 × 6371000     		dr = 275.864299999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09635317--0.09630523) × cos(-0.44341950) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903289876441129 × 6371000     		do = 275.887978946519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09635317--0.09630523) × cos(-0.44346280) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903271298562135 × 6371000     		du = 275.88230478408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44341950)-sin(-0.44346280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903289876441129-0.903271298562135)×R²
    abs(-0.09630523--0.09635317)×1.85778789942859e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85778789942859e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85778789942859e-05×40589641000000     		ar = 76106.861552902m²