Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63525 / 75107
↖ ↑ ↗
← S 25.411028°
W  5.523377°		 ← 275.88 m → S 25.411028°
W  5.520630°		 →
↑
275.86 m
↓
↑
275.86 m
↓
S 25.413509°
W  5.523377°		 ← 275.87 m →
76 104 m²		 S 25.413509°
W  5.520630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484661102294922 y=0.573024749755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484661102294922 × 217)
    floor (0.484661102294922 × 131072)
    floor (63525.5)     		tx = 63525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573024749755859 × 217)
    floor (0.573024749755859 × 131072)
    floor (75107.5)     		ty = 75107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63525 / 75107 ti = "17/63525/75107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63525/75107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63525 ÷ 217
    63525 ÷ 131072     		x = 0.484657287597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75107 ÷ 217
    75107 ÷ 131072     		y = 0.573020935058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484657287597656 × 2 - 1) × π
    -0.0306854248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09640111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573020935058594 × 2 - 1) × π
    -0.146041870117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.458804066263557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09640111} λ = -0.09640111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458804066263557))-π/2
    2×atan(0.632039070544959)-π/2
    2×0.56364511290102-π/2
    1.12729022580204-1.57079632675     		φ = -0.44350610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09640111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.523377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44350610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.411028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63525 KachelY 75107 -0.09640111 -0.44350610 -5.523377 -25.411028
    Oben rechts KachelX + 1 63526 KachelY 75107 -0.09635317 -0.44350610 -5.520630 -25.411028
    Unten links KachelX 63525 KachelY + 1 75108 -0.09640111 -0.44354940 -5.523377 -25.413509
    Unten rechts KachelX + 1 63526 KachelY + 1 75108 -0.09635317 -0.44354940 -5.520630 -25.413509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44350610--0.44354940) × R
    4.32999999999684e-05 × 6371000     		dl = 275.864299999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44350610--0.44354940) × R
    4.32999999999684e-05 × 6371000     		dr = 275.864299999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09640111--0.09635317) × cos(-0.44350610) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903252718989606 × 6371000     		do = 275.876630104391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09640111--0.09635317) × cos(-0.44354940) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903234137723578 × 6371000     		du = 275.870954907465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44350610)-sin(-0.44354940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903252718989606-0.903234137723578)×R²
    abs(-0.09635317--0.09640111)×1.85812660280504e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85812660280504e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85812660280504e-05×40589641000000     		ar = 76103.7306697928m²