Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63520 / 75104
↖ ↑ ↗
← S 25.403585°
W  5.537109°		 ← 275.89 m → S 25.403585°
W  5.534363°		 →
↑
275.86 m
↓
↑
275.86 m
↓
S 25.406066°
W  5.537109°		 ← 275.89 m →
76 108 m²		 S 25.406066°
W  5.534363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484622955322266 y=0.573001861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484622955322266 × 217)
    floor (0.484622955322266 × 131072)
    floor (63520.5)     		tx = 63520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573001861572266 × 217)
    floor (0.573001861572266 × 131072)
    floor (75104.5)     		ty = 75104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63520 / 75104 ti = "17/63520/75104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63520/75104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63520 ÷ 217
    63520 ÷ 131072     		x = 0.484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75104 ÷ 217
    75104 ÷ 131072     		y = 0.572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.14599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.458660255564697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09664079} λ = -0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458660255564697))-π/2
    2×atan(0.632129971061477)-π/2
    2×0.563710063607238-π/2
    1.12742012721448-1.57079632675     		φ = -0.44337620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44337620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.403585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63520 KachelY 75104 -0.09664079 -0.44337620 -5.537109 -25.403585
    Oben rechts KachelX + 1 63521 KachelY 75104 -0.09659285 -0.44337620 -5.534363 -25.403585
    Unten links KachelX 63520 KachelY + 1 75105 -0.09664079 -0.44341950 -5.537109 -25.406066
    Unten rechts KachelX + 1 63521 KachelY + 1 75105 -0.09659285 -0.44341950 -5.534363 -25.406066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44337620--0.44341950) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dl = 275.864300000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44337620--0.44341950) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dr = 275.864300000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09664079--0.09659285) × cos(-0.44337620) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.903308452626554 × 6371000     		do = 275.893652591779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09664079--0.09659285) × cos(-0.44341950) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.903289876441129 × 6371000     		du = 275.887978946599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44337620)-sin(-0.44341950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903308452626554-0.903289876441129)×R²
    abs(-0.09659285--0.09664079)×1.85761854251121e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.85761854251121e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.85761854251121e-05×40589641000000     		ar = 76108.4267805502m²