Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6351 / 6078
↖ ↑ ↗
← S 65.330178°
E 99.096680°		 ← 2 039.57 m → S 65.330178°
E 99.140625°		 →
↑
2 038.85 m
↓
↑
2 038.85 m
↓
S 65.348514°
E 99.096680°		 ← 2 038.14 m →
4 156 915 m²		 S 65.348514°
E 99.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77532958984375 y=0.74200439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77532958984375 × 213)
    floor (0.77532958984375 × 8192)
    floor (6351.5)     		tx = 6351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74200439453125 × 213)
    floor (0.74200439453125 × 8192)
    floor (6078.5)     		ty = 6078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6351 / 6078 ti = "13/6351/6078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6351/6078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6351 ÷ 213
    6351 ÷ 8192     		x = 0.7752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6078 ÷ 213
    6078 ÷ 8192     		y = 0.741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7752685546875 × 2 - 1) × π
    0.550537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72956334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.48388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52017496075122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72956334} λ = 1.72956334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52017496075122))-π/2
    2×atan(0.218673624303501)-π/2
    2×0.215284810638955-π/2
    0.430569621277911-1.57079632675     		φ = -1.14022671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72956334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14022671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.330178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6351 KachelY 6078 1.72956334 -1.14022671 99.096680 -65.330178
    Oben rechts KachelX + 1 6352 KachelY 6078 1.73033033 -1.14022671 99.140625 -65.330178
    Unten links KachelX 6351 KachelY + 1 6079 1.72956334 -1.14054673 99.096680 -65.348514
    Unten rechts KachelX + 1 6352 KachelY + 1 6079 1.73033033 -1.14054673 99.140625 -65.348514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14022671--1.14054673) × R
    0.000320019999999976 × 6371000     		dl = 2038.84741999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14022671--1.14054673) × R
    0.000320019999999976 × 6371000     		dr = 2038.84741999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72956334-1.73033033) × cos(-1.14022671) × R
    0.000766990000000023 × 0.417388496928577 × 6371000     		do = 2039.56608956474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72956334-1.73033033) × cos(-1.14054673) × R
    0.000766990000000023 × 0.417097664379419 × 6371000     		du = 2038.14493826477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14022671)-sin(-1.14054673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417388496928577-0.417097664379419)×R²
    abs(1.73033033-1.72956334)×0.000290832549157904×R²
    0.000766990000000023×0.000290832549157904×6371000²
    0.000766990000000023×0.000290832549157904×40589641000000     		ar = 4156915.33977601m²