Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63502 / 75118
↖ ↑ ↗
← S 25.438314°
W  5.586548°		 ← 275.76 m → S 25.438314°
W  5.583801°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
S 25.440795°
W  5.586548°		 ← 275.75 m →
76 053 m²		 S 25.440795°
W  5.583801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484485626220703 y=0.573108673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484485626220703 × 217)
    floor (0.484485626220703 × 131072)
    floor (63502.5)     		tx = 63502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573108673095703 × 217)
    floor (0.573108673095703 × 131072)
    floor (75118.5)     		ty = 75118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63502 / 75118 ti = "17/63502/75118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63502/75118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63502 ÷ 217
    63502 ÷ 131072     		x = 0.484481811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75118 ÷ 217
    75118 ÷ 131072     		y = 0.573104858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484481811523438 × 2 - 1) × π
    -0.031036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09750365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573104858398438 × 2 - 1) × π
    -0.146209716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.459331372159378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09750365} λ = -0.09750365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.459331372159378))-π/2
    2×atan(0.631705880470937)-π/2
    2×0.563406994608796-π/2
    1.12681398921759-1.57079632675     		φ = -0.44398234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09750365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.586548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44398234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.438314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63502 KachelY 75118 -0.09750365 -0.44398234 -5.586548 -25.438314
    Oben rechts KachelX + 1 63503 KachelY 75118 -0.09745572 -0.44398234 -5.583801 -25.438314
    Unten links KachelX 63502 KachelY + 1 75119 -0.09750365 -0.44402563 -5.586548 -25.440795
    Unten rechts KachelX + 1 63503 KachelY + 1 75119 -0.09745572 -0.44402563 -5.583801 -25.440795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44398234--0.44402563) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dl = 275.800590000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44398234--0.44402563) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dr = 275.800590000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09750365--0.09745572) × cos(-0.44398234) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.90304825770084 × 6371000     		do = 275.756649159501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09750365--0.09745572) × cos(-0.44402563) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903029662106746 × 6371000     		du = 275.750970771139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44398234)-sin(-0.44402563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90304825770084-0.903029662106746)×R²
    abs(-0.09745572--0.09750365)×1.85955940943394e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85955940943394e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85955940943394e-05×40589641000000     		ar = 76053.0634951983m²