Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6350 / 6158
↖ ↑ ↗
← S 66.757250°
E 99.052734°		 ← 1 928.35 m → S 66.757250°
E 99.096680°		 →
↑
1 927.67 m
↓
↑
1 927.67 m
↓
S 66.774586°
E 99.052734°		 ← 1 926.99 m →
3 715 910 m²		 S 66.774586°
E 99.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77520751953125 y=0.75177001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77520751953125 × 213)
    floor (0.77520751953125 × 8192)
    floor (6350.5)     		tx = 6350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75177001953125 × 213)
    floor (0.75177001953125 × 8192)
    floor (6158.5)     		ty = 6158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6350 / 6158 ti = "13/6350/6158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6350/6158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6350 ÷ 213
    6350 ÷ 8192     		x = 0.775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6158 ÷ 213
    6158 ÷ 8192     		y = 0.751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775146484375 × 2 - 1) × π
    0.55029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72879635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.50341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58153419226489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72879635} λ = 1.72879635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58153419226489))-π/2
    2×atan(0.205659335085061)-π/2
    2×0.202831258751989-π/2
    0.405662517503978-1.57079632675     		φ = -1.16513381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72879635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16513381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.757250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6350 KachelY 6158 1.72879635 -1.16513381 99.052734 -66.757250
    Oben rechts KachelX + 1 6351 KachelY 6158 1.72956334 -1.16513381 99.096680 -66.757250
    Unten links KachelX 6350 KachelY + 1 6159 1.72879635 -1.16543638 99.052734 -66.774586
    Unten rechts KachelX + 1 6351 KachelY + 1 6159 1.72956334 -1.16543638 99.096680 -66.774586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16513381--1.16543638) × R
    0.000302570000000113 × 6371000     		dl = 1927.67347000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16513381--1.16543638) × R
    0.000302570000000113 × 6371000     		dr = 1927.67347000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72879635-1.72956334) × cos(-1.16513381) × R
    0.000766989999999801 × 0.394627594627558 × 6371000     		do = 1928.3450931959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72879635-1.72956334) × cos(-1.16543638) × R
    0.000766989999999801 × 0.394349562800809 × 6371000     		du = 1926.98649254009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16513381)-sin(-1.16543638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394627594627558-0.394349562800809)×R²
    abs(1.72956334-1.72879635)×0.000278031826748626×R²
    0.000766989999999801×0.000278031826748626×6371000²
    0.000766989999999801×0.000278031826748626×40589641000000     		ar = 3715910.23628621m²