Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63499 / 71669
↖ ↑ ↗
← S 16.607242°
W  5.594787°		 ← 292.62 m → S 16.607242°
W  5.592041°		 →
↑
292.68 m
↓
↑
292.68 m
↓
S 16.609874°
W  5.594787°		 ← 292.62 m →
85 646 m²		 S 16.609874°
W  5.592041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484462738037109 y=0.546794891357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484462738037109 × 217)
    floor (0.484462738037109 × 131072)
    floor (63499.5)     		tx = 63499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546794891357422 × 217)
    floor (0.546794891357422 × 131072)
    floor (71669.5)     		ty = 71669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63499 / 71669 ti = "17/63499/71669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63499/71669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63499 ÷ 217
    63499 ÷ 131072     		x = 0.484458923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71669 ÷ 217
    71669 ÷ 131072     		y = 0.546791076660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484458923339844 × 2 - 1) × π
    -0.0310821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09764746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546791076660156 × 2 - 1) × π
    -0.0935821533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.293997005369804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09764746} λ = -0.09764746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293997005369804))-π/2
    2×atan(0.745278723274116)-π/2
    2×0.640472637766558-π/2
    1.28094527553312-1.57079632675     		φ = -0.28985105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09764746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.594787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28985105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.607242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63499 KachelY 71669 -0.09764746 -0.28985105 -5.594787 -16.607242
    Oben rechts KachelX + 1 63500 KachelY 71669 -0.09759953 -0.28985105 -5.592041 -16.607242
    Unten links KachelX 63499 KachelY + 1 71670 -0.09764746 -0.28989699 -5.594787 -16.609874
    Unten rechts KachelX + 1 63500 KachelY + 1 71670 -0.09759953 -0.28989699 -5.592041 -16.609874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28985105--0.28989699) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dl = 292.683740000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28985105--0.28989699) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dr = 292.683740000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09764746--0.09759953) × cos(-0.28985105) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958286457466621 × 6371000     		do = 292.624297973526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09764746--0.09759953) × cos(-0.28989699) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958273326367361 × 6371000     		du = 292.6202882344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28985105)-sin(-0.28989699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958286457466621-0.958273326367361)×R²
    abs(-0.09759953--0.09764746)×1.3131099259267e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.3131099259267e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.3131099259267e-05×40589641000000     		ar = 85645.7871681698m²